交点曲线系

在解析几何中,常常研究经过某两条曲线的交点的一系列曲线的问题.直接思路是解出交点,再通过待定系数法去求出曲线,但往往计算量很大,这里给出这类问题的一个解决方法——通过交点曲线系方程去直接表示通过两条曲线交点的一系列曲线.我们以两条直线的交点为例:

结论一 已知两条相交直线$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$与直线$l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$,那么经过这两条直线的交点$P$的直线系为$$l:(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0,$$其中$\lambda\in\mathcal{R}$,这里的直线系不包括$l_2$.


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为什么这是经过直线$l_1,l_2$的交点的直线系方程呢?证明如下:

如果$P(x_0,y_0)$是$l_1$与$l_2$的交点,则它必然满足$l$的方程,即$$\begin{cases} A_1x_0+B_1y_0+C_1=0,\\A_2x_0+B_2y_0+C_2=0,\end{cases}$$从而有$$(A_1x_0+B_1y_0+C_1)+\lambda (A_2x_0+B_2y_0+C_2)=0,$$即点$P$在直线$l$上,所以此方程表示的是经过交点$P$的直线.

下面只需要证明,所有经过交点$P$的直线(除$l_2$外)都可以表示成这个形式.将$l$整理为$$(A_1+\lambda A_2)x+(B_1+\lambda B_2)y+(C_1+\lambda C_2)=0,$$当$B_2\ne 0$(即直线$l_2$的斜率存在)时,令$\lambda =-\dfrac {B_1}{B_2}$即可表示斜率不存在的直线;当$\lambda \ne -\dfrac {B_1}{B_2}$时,直线$l$的斜率$k=-\dfrac {A_1+\lambda A_2}{B_1+\lambda B_2}$的取值范围为$$\left\{k\in\mathcal R|k\ne -\dfrac {A_2}{B_2}\right\}.$$即直线$l$表示所有经过点$P$,且斜率不为$-\dfrac {A_2}{B_2}$的直线,所以它是经过$l_1,l_2$的交点的曲线系,只是不包括$l_2$.

 将直线系方程表示为$$l:\mu(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0,$$可以表示所有过交点的直线.


例题一 已知直线$l$经过$l_1:2x+3y+1=0$与$l_2:7x+8y+2=0$的交点,分别求满足下列条件的$l$的方程.

(1)点$P(2,-1)$在$l$上;

(2)$l$与直线$x-y+1=0$垂直.

分析与解 因为$l_2$显然不满足(1)(2),所以经过$l_1,l_2$交点的直线系方程可以设为$$(2x+3y+1)+\lambda (7x+8y+2)=0.$$整理为$$(2+7\lambda )x+(3+8\lambda )y+(1+2\lambda )=0.$$

(1) 将$(2,-1)$代入上面的方程中解得$\lambda =-\dfrac 14$,所以直线$l$的方程为$x+4y+2=0$.

(2) 由$2+7\lambda =3+8\lambda $得$\lambda =-1$,故所求方程为$5x+5y+1=0$.


结论二 经过直线$l:Ax+By+C=0$与圆$C:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$的交点的圆系方程为$$(x^2+y^2+Dx+Ey+F)+\lambda (Ax+By+C)=0.$$

结论三 经过两个圆$C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$与$C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$的交点的圆系方程为$$(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1)+\lambda (x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0.$$其中$\lambda\ne -1$,圆系方程不包括圆$C_2$.


对结论二与结论三的证明:

由曲线系方程的形式容易知道,它们表示圆,且交点在圆上;

下面来说明,所有经过交点的圆都可以表示为圆系方程的形式.

先证明结论二:若$x^2+y^2+D'x+E'y+F'=0$是过直线$l$与圆$C$的交点的任意一个圆,则将此圆方程与圆$C$的方程相减得到它们的相交弦所在直线的方程$$(x^2+y^2+D'x+E'y+F')-(x^2+y^2+Dx+Ey+F)=0,$$因为相交弦就是直线$l$,所以存在$\lambda $,使得$$(x^2+y^2+D'x+E'y+F')-(x^2+y^2+Dx+Ey+F)=\lambda (Ax+By+C),$$于是结论二得证.

再证明结论三,经过两圆交点的所有圆的圆心都在确定的直线,即两圆圆心连线所在的直线上,所以在两圆圆心的横坐标不同,即$D_1\ne D_2$的情况下,只需要确定圆心的横坐标就可以唯一确定所求的圆.所以,如果我们可以说明曲线系表示的圆的圆心的横坐标可以取到圆$C_2$的圆心横坐标之外的所有值,则命题得证.事实上,曲线系表示的圆的圆心横坐标为$$x=-\dfrac {D_1+\lambda D_2}{2(1+\lambda )},$$它的取值范围为$$\left\{x\in\mathcal{R}|x\ne-\dfrac {D_2}{2}\right \}.$$即除了圆$C_2$外,交点曲线系方程可以表示所有过两圆交点的圆.当$D_1=D_2$时,考虑圆心的纵坐标即可.

 所有曲线系方程都需要满足前提,即两条曲线确实存在交点.


例题二 分别求过直线$2x+y+4=0$和圆$(x+1)^2+(y-2)^2=4$的交点,且满足下列条件的圆的方程:

(1) 过点$(-1,1)$;

(2) 有最小面积.

分析与解 注意先将圆化为一般方程,于是得到过直线与圆的交点的圆系方程可以表示为$$x^2+y^2+2x-4y+1+\lambda (2x+y+4)=0.$$

(1)将$(-1,1)$的坐标代入可以计算得$\lambda =1$,所以所求圆的方程为$$x^2+y^2+4x-3y+5=0.$$

(2)将圆的方程整理为$$x^2+y^2+(2\lambda +2)x+(\lambda -4)y+(4\lambda +1)=0.$$于是圆的半径$r$满足$$4r^2=(2\lambda +2)^2+(\lambda -4)^2-4(4\lambda +1)=5\lambda ^2-16\lambda +16.$$于是当$\lambda =\dfrac 85$时,圆的面积有最小值,此时圆的方程为$$x^2+y^2+\dfrac {26}{5}x-\dfrac{12}{5}y+\dfrac {37}{5}=0.$$


最后给出两道练习:

练习一 求经过直线$2x+3y-5=0$与$7x+15y+1=0$的交点,且平行于直线$x+2y-3=0$的直线方程.

答案 $9x+18y-4=0$.

练习二 求经过两圆$x^2+y^2-4x+2y=0$和$x^2+y^2-2y-4=0$的交点,且圆心在直线$2x+4y=1$上的圆的方程.

答案 $x^2+y^2-3x+y-1=0$.

提示 可以直接利用过两圆交点的圆系方程,也可以先求出两圆的相交弦所在的直线的方程,再由与例题二相同的方式处理,可以简化计算.

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