每日一题[574]模长的最大值

已知复数$z$满足$|z|=1$,则$\big|z^3+3z+2{\rm i}\big|$的最大值是______.


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分析与解 由于$$\big|z^3+3z+2{\rm i}\big|=\big|(z{\rm i})^3-3(z{\rm i})+2\big|,$$因此问题等价于已知$|z|=1$,求$\big|z^3-3z+2\big|$的最大值.利用共轭复数,有\[\begin{split} &\big|z^3-3z+2\big|^2\\=&\left(z^3-3z+2\right)\cdot\left(\overline z^3-3\overline z+2\right)\\ =&14+2\left(z^3+\overline z^3\right)-3\left(z^2+\overline z^2\right)-6\left(z+\overline z\right) \\ =&14+2\left(z+\overline z\right)\cdot\left[\left(z+\overline z\right)^2-3z\cdot \overline z\right]-3\left[\left(z+\overline z\right)^2-2z\cdot \overline z\right]-6\left(z+\overline z\right)\\ =&2x^3-3x^2-12x+20,\end{split} \]其中$x=z+\overline z=2{\rm Re}(z)$,且$x\in [-2,2]$,设$$f(x)=2x^3-3x^2-12x+20,$$则$$f'(x)=6(x+1)(x-2),$$于是当$x=-1$时,$f(x)$取得最大值为$27$.因此原式的最大值为$3\sqrt 3$,当$z=-\dfrac 12\pm \dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}$时取得.

 共轭复数是处理有关复数的模的问题的一大利器.

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