每日一题[443]焦半径立奇功

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，圆$O$以椭圆$E$的短轴为直径．设$AB$是椭圆$E$的弦且与圆$O$相切，椭圆的一个焦点$F$与弦$AB$在$y$轴同侧，求证：$\triangle FAB$的周长为定值$2a$．

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证法一    当直线$AB$的斜率存在时，设直线$AB$的方程为$y=kx+m$，不妨设$k>0$，$m<0$．由$AB$与圆$x^2+y^2=b^2$相切可得

$$\dfrac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=b,$$ 即 $$m=-b\sqrt{1+k^2}.$$

联立直线$AB$与椭圆$E$的方程，可得

$$(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0,$$ 将$m$代入，可得 $$(b^2+a^2k^2)x^2-2a^2kb\sqrt{1+k^2}x+a^2b^2k^2=0,$$ 设$A,B$的横坐标分别为$x_1,x_2$则 $$x_1+x_2=\dfrac{2a^2kb\sqrt{1+k^2}}{b^2+a^2k^2},$$ 且 $$|x_1-x_2|=\dfrac{2abck}{b^2+a^2k^2},$$ 其中$c$为椭圆的半焦距．

因此$\triangle FAB$的周长为

$$FA+FB+AB=2a-\dfrac ca\cdot(x_1+x_2)+\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|=2a.$$

容易验证，当直线$AB$的斜率不存在时，命题依然成立．因此原命题得证．

证法二    设切点为$M$，我们可以证明一个更强的结论：

$$FA+AM=FB+BM=a.$$

连接$OA,OB,OM$．设$A(x_1,y_1)$，则

$$\begin{split} FA+AM&=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{OA^2-OM^2} \\ &=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{x_1^2+y_1^2-b^2} \\ &=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{x_1^2+b^2\left(1-\dfrac{x_1^2}{a^2}\right)-b^2} \\ &=a,\end{split}$$ 类似地，有 $$FB+BM=a,$$ 因此原命题得证．