每日一题[357]构造函数

已知$\mathcal{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f'(x)>-2$，则不等式

$$f(x-1)<x^2\left(3-2\ln x \right) +3(1-2x)$$ 的解集是_______．

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正确答案是$(0,1)$．

解　所解不等式左边是一个抽象函数，我们需要充分利用题目所给条件：$f(x)$为奇函数，且$f'(x)>-2$．

于是我们令$g(x)=f(x)+2x$，则函数$g(x)$为$\mathcal R$上的单调递增函数，且$g(0)=0$．根据题意，将不等式整理为

$$f(x-1)+2(x-1)<3x^2-4x+1-2x^2\ln x,$$ 即 $$g(x-1)<3x^2-4x+1-2x^2\ln x.$$ 下面我们来研究右边的函数的性质，因为有对数函数，所以我们先将右面变形为$x^2\left(3-\dfrac 4x+\dfrac 1{x^2}-2\ln x\right)$，令 $$h(x)=3-\dfrac 4x+\dfrac 1{x^2}-2\ln x,$$ 则$h(x)$的导函数 $$h'(x)=-\dfrac{2(x-1)^2}{x^3}\leqslant 0,$$ 于是$h(x)$单调递减，又注意到$h(1)=0$，于是当$0<x<1$时，$g(x-1)<0<x^2\cdot h(x)$； 当$x \geqslant 1$时，$x^2\cdot h(x)\leqslant 0\leqslant g(x-1)$．示意图如下：

综上，所求的解集为$(0,1)$．

更多相关问题见每日一题[335]善挖线索巧构函数、每日一题[307] 清君侧，靖国难．