设函数$f(x)=\dfrac {a^x}{1+a^x}$（$a>0$且$a\ne 1$），$[m]$表示不超过实数$m$的最大整数，则函数$\left[f(x)-\dfrac 12\right ]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$的值域是_____．
正确答案是$\{-1,0\}$．
解 先考察$f(x)-\dfrac 12$与$f(-x)-\dfrac 12$之间的联系．因为$$f(-x)=\dfrac {a^{-x}}{1+a^{-x}}=\dfrac {1}{a^x+1},$$所以$f(x)+f(-x)=1$．
从而$f(x)-\dfrac 12$与$f(-x)-\dfrac 12$的和为$0$．
再考虑到$f(x)$的取值范围为$(0,1)$，所以$$f(x)-\dfrac 12\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right ).$$于是问题转化为求$[t]+[-t]$（$t\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$）的取值范围：
当$t=0$时，$[t]+[-t]=0$；当$t\ne 0$时，在数轴上考虑，$t,-t$是关于原点对称的两点，$[t],[-t]$是它们左边的整点，故有$[-t]+[t]=-1$．
综上知，函数$\left[f(x)-\dfrac 12\right ]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$的值域是$\{-1,0\}$．
函数问题中的函数解析式常常是作为一个载体出现的，结合函数解析式，去挖掘这个函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等与问题相关的性质才是解决问题的关键．
更多相关问题见从本质角度理解函数的性质、每日一题[211]寻找周期性．