每日一题[353]取整函数

设函数$f(x)=\dfrac {a^x}{1+a^x}$($a>0$且$a\ne 1$),$[m]$表示不超过实数$m$的最大整数,则函数$\left[f(x)-\dfrac 12\right ]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$的值域是_____.


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正确答案是$\{-1,0\}$.

 先考察$f(x)-\dfrac 12$与$f(-x)-\dfrac 12$之间的联系.因为$$f(-x)=\dfrac {a^{-x}}{1+a^{-x}}=\dfrac {1}{a^x+1},$$所以$f(x)+f(-x)=1$.

从而$f(x)-\dfrac 12$与$f(-x)-\dfrac 12$的和为$0$.

再考虑到$f(x)$的取值范围为$(0,1)$,所以$$f(x)-\dfrac 12\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right ).$$于是问题转化为求$[t]+[-t]$($t\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$)的取值范围:

当$t=0$时,$[t]+[-t]=0$;当$t\ne 0$时,在数轴上考虑,$t,-t$是关于原点对称的两点,$[t],[-t]$是它们左边的整点,故有$[-t]+[t]=-1$.

综上知,函数$\left[f(x)-\dfrac 12\right ]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$的值域是$\{-1,0\}$.

函数问题中的函数解析式常常是作为一个载体出现的,结合函数解析式,去挖掘这个函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等与问题相关的性质才是解决问题的关键.

更多相关问题见从本质角度理解函数的性质每日一题[211]寻找周期性

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