2015年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学

一、填空题

1、对抛物线$y^2=2\sqrt 2x$，若设其焦点为$F$，$y$轴正半轴上一点为$N$．若准线上存在唯一的点$P$使得$\angle NPF=90^\circ$，则$N$点的纵坐标为_______．

2、$\dfrac{1}{\sqrt 1+\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 2+\sqrt 3}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{255}+\sqrt{256}}=$______．

3、若已知$\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{i}-\ln n\right)$存在，则$\sum\limits_{i=0}^{+\infty}{\dfrac{(-1)^{i+2}}{i+1}}=$_______．

4、在边长为$1$的正方形中（含边界）取$9$个点，其中必有$3$个点，它们构成的三角形面积不超过_______．

5、某人打靶打中 8 环、9 环、10 环的概率分别为$0.15$、$0.25$、$0.2$，现他开三枪，不少于$28$环的概率为_______．

二、解答题

6、若对任意实数$x,y$，有$f\left((x-y)^2\right)=\left(f(x)\right)^2-2x\cdot f(y)+y^2$，求$f(x)$．

7、求所有$a,b$，使$\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2-1}2$成立，其中$x\in [0,1]$．

8、若复数$z$满足$|z|=1$，求$\left|z^3-z+2\right|^2$的最小值．

9、已知三次方程$x^3+ax^2+bx+c=0$有三个实根．

（1）若三个实根为$x_1,x_2,x_3$，且$x_1\leqslant x_2\leqslant x_3$，$a,b$为常数，求$c$变化时$x_3-x_1$的取值范围；

（2）若三个实根为$a,b,c$，求$a,b,c$．

---

参考答案

一、填空题

1、$2$    提示：斜边$NF$的中点$M$在抛物线上，坐标为$\left(\dfrac{\sqrt{2}}4,1\right)$．

2、$15$

3、$\ln 2$

4、$\dfrac 18$

提示：如图． 5、$0.0935$

二、解答题

6、$f(x)=x\lor f(x)=x+1$ 提示：令$x=y$得 $$f(0)=\left(f(x)-x\right)^2,$$ 再令$x=0$可得$f(0)=0\lor f(0)=1$．

7、  $a=-1\land b=\dfrac{\sqrt 2+1}2$ 提示：三角换元，$x=\cos\theta$，其中$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则原式变形为 $$\left|\sqrt{1+a^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)-b\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2-1}2,$$ 注意到代数式$\sqrt{1+a^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)$的值域区间长度不能超过$\sqrt 2-1$，于是$a=-1$，进而$b=\dfrac{\sqrt 2+1}2$．

8、$\dfrac {8}{27}$ 提示：利用共轭复数，并令$x=z+\bar z$，则有原式等于$2x^3-x^2-8x+8$，其中$x\in [-2,2]$．

9、（1）$\left[\sqrt{a^2-3b},2\sqrt{\dfrac{a^2}3-b}\right]$；

（2）有理解为$(a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)$，无理解为$\left(-\dfrac 1b,b,\dfrac 2b-b\right)$，其中$b=t+\dfrac 2{3t}$，而$t=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\dfrac {19}{27}}}$． 其中涉及三次方程的解法，可以参考 每日一题[29] 一般三次方程的解法． 提示：利用三次方程的韦达定理．

点击此处下载pdf．