2015年上海交大自主招生试题（回忆版）

1、甲、乙、丙三人玩传球游戏，第$1$次由甲将球传出，传了$4$次球后，球回到甲手里的方案数为_______．

2、求证：数列$a_n=\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}$单调递减．

3、已知$p$是一个不为$2$的质数，求证：将$\dfrac 2p$拆分为两个不同的正整数的倒数之和的方式存在且唯一．

4、平面直角坐标系内，若一个圆的圆心的横坐标和纵坐标均为无理数，求证：该圆上不可能存在$3$个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）．

参考答案

1、$6$

2、略    提示    利用均值不等式即得．

3、略    提示    由$\dfrac 2p=\dfrac 1x+\dfrac 1y$得$(2x-p)(2y-p)=p^2$，从而解得．

4、略    提示    用反证法．

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