2015年清华大学金秋营基础部分

1、已知函数$f(x)=4\sin^3x\cos x-2\sin x\cos x-\dfrac 12\cos 4x$．

（1）求$f(x)$的最小正周期及最大值；

（2）求$f(x)$的单调区间．

2、设函数$f(x)=\left(2x^2-4ax\right)\ln x+x^2$．

（1）求函数$f(x)$的单调区间；

（2）若不等式$f(x)>0$对$x\geqslant 1$恒成立，求$a$的取值范围．

3、袋中有若干枚均匀硬币，其中一部分是普通硬币，其余的两面均为正面，已知普通硬币占总硬币数的比例为$\theta$($0<\theta<1$)．从袋中任取一枚硬币，在不查看它属于哪种硬币的前提下，将其独立地连掷两次．

（1）以$X$记掷出的正面数，求$X$的分布列；

（2）将上述试验独立重复地进行$n$次，以$Y$记这$n$次试验中不出现正面的次数，求$Y$的分布列．

4、已知椭圆$L:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\dfrac{\sqrt 2}2$，$F_1,F_2$分别为椭圆$L$的左右焦点，点$\left(1,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$在椭圆 上，设$A$为椭圆$L$上一个动点，弦$AB,AC$分别过焦点$F_1,F_2$，且$\overrightarrow{AF_1}=\lambda_1\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{AF_2}=\lambda_2\overrightarrow{F_2C}$ ．

（1）求椭圆$L$的方程；

（2）求$\lambda_1+\lambda_2$的值；

（3）求$\triangle F_1AC$的面积$S$的最大值．

5、已知数列$\{a_n\}$满足：$a_n>0$，$a_n+a_n^2+\cdots +a_n^n=\dfrac 12$($n=1,2,\cdots$) ．证明：
（1）$a_n>a_{n+1}$($n=1,2,\cdots$) ；

（2）对于任意给定的$0<\epsilon<1$，总存在正整数$m$，当$n>m$时，$0<a_n-\dfrac 13<\epsilon$ ．

6、已知集合 $$S_n=\left\{X|X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),x_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots ,n\right\},n\geqslant 2,$$ 对于 $$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in S_n,B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)\in S_n,$$ 定义$A$与$B$的差为 $$A-B=\left(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots ,|a_n-b_n|\right),$$ 且$A$与$B$之间的距离为 $$d(A,B)=\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|.$$

（1） 对任意$A,B,C\in S_n$，证明：$d(A-C,B-C)=d(A,B)$ ，且$d(A,B)$，$d(A,C)$，$d(B,C)$三个数中至少有一个是偶数；

（2）设$P\subseteq S_n$ ，$P$中有$m$($m\geqslant 2$)个元素，记$P$中所有两元素间的距离的平均值为$\overline{d}(P)$，证明：$\overline{d}(P)\leqslant \dfrac{mn}{2(m-1)}$ ．

（3）当$n=3$时，若$M$满足：$M\subseteq S_3$且$M$中元素间的距离均为$2$，试写出含有元素个数最多的所有集合$M$ ．

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参考答案

1、（1）因为$f(x)=-\dfrac{\sqrt{2} }{2}\sin \left(4x+\dfrac{\pi}{4}\right)$，所以$f(x)$的最小正周期为$\dfrac{\pi}{2}$，最大值为$\dfrac{\sqrt{2} }{2}$．

（2）$f(x)$的单调递增区间为$\left [\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{k \pi}{2},\dfrac{5\pi}{16}+\dfrac{k \pi}{2} \right ],k \in \mathbf Z$．

2、（1）$f'(x)=4(x-a)(1+\ln x)$．

当$a\leqslant 0$时，$f(x)$在$\left (0,\dfrac{1}{\mathrm e}\right )$上单调递减，在$\left (\dfrac{1}{\mathrm e} ,+\infty \right )$上单调递增；

当$0<a<\dfrac{1}{\mathrm e}$时，$f(x)$在$(0,a)$和$\left (\dfrac{1}{\mathrm e} ,+\infty \right )$上单调递增，在$\left (a,\dfrac{1}{\mathrm e} \right)$上单调递减；

当$a=\dfrac{1}{\mathrm e}$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；

当$a>\dfrac{1}{\mathrm e}$时，$f(x)$在$\left(0,\dfrac{1}{\mathrm e}\right)$和$(a,+\infty )$上单调递增，在$\left(\dfrac{1}{\mathrm e},a \right)$上单调递减．

（2）由(（1）可知，当$a\leqslant 1$时，$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，故只需满足$f(1)>0$即可，而此时$f(1)=1>0$恒成立，所以$a\leqslant 1$满足题意．

当$a>1$时，只需满足 $$f(a)=a^2(1-2\ln a)>0,$$ 即可，解得 $$1<a<\sqrt{\mathrm e} .$$

综上所述，若不等式$f(x)>0$对$\forall x \in [1,+\infty)$恒成立，则$a$的取值范围是$\left ( -\infty ,\sqrt{\mathrm e}\right )$．  

3、（1）根据全概率公式可得分布列为 $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X& 0 & 1 & 2\\ \hline P& 1-\dfrac 34\theta & \dfrac 12\theta & \dfrac 14\theta\\  \hline \end{array}$$

（2）根据二项分布的计算方式，可得分布列为 $$P(Y=k)={\rm C}_{n}^{k}{\left(\dfrac 34\theta\right)^k\cdot\left(1-\dfrac 34\theta\right)^{n-k}}.$$

4、（1）椭圆$L$的方程为$\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$.

（2）设$A$点坐标为$(x_1,y_1)$，$B$点坐标为$(x_2,y_2)$，$C$点坐标为$(x_3,y_3)$．由 $$\overrightarrow{AF_1}=\lambda_1 \overrightarrow{F_1B},\overrightarrow{AF_2}=\lambda_2 \overrightarrow{F_2C},$$ 可得 $$x_2=-\dfrac{1+x_1}{\lambda _1}-1,x_3=\dfrac{1-x_1}{\lambda_2}+1 .$$

由椭圆的焦准性质可知，$\lambda_1 =\dfrac{x_1+2}{x_2+2}$，将$x_2=-\dfrac{1+x_1}{\lambda _1}-1$代入上式，可得$\lambda_1=2x_1+3$；同理，$\lambda _2=\dfrac{2-x_1}{2-x_3}$，将$x_3=\dfrac{1-x_1}{\lambda_2}+1$代入上式，可得$\lambda_2=-2x_1+3$．

所以$\lambda_1 +\lambda _2=6$．

（3）当直线$AC$的方程为$x=1$时，$\triangle F_1AC$的面积$S$取到最大值$\sqrt{2}$．

5、（1）若$\exists k\in \mathbf N_+$，使得$0<a_k\leqslant a_{k+1}$，则 $$\dfrac{1}{2}=a_k+a_k^2+\cdots+a_k^k\leqslant a_{k+1}+a_{k+1}^2+\cdots+a_{k+1}^k<a_{k+1}+a_{k+1}^2+\cdots+a_{k+1}^k+a_{k+1}^{k+1}=\dfrac{1}{2} ,$$ 矛盾．所以$a_n>a_{n+1}(n=1,2,\cdots)$．

（2）显然$0<a_n<1(n=1,2,\cdots)$，故有 $$\dfrac{1}{2}=a_n+a_n^2+\cdots+a_n^n=\dfrac{a_n\left(1-a_n^n\right)}{1-a_n}<\dfrac{a_n}{1-a_n} ,$$ 所以$a_n>\dfrac{1}{3}$．

由于数列$\{a_n\}$单调递减有下界，所以$n\to \infty$时，数列$\{a_n\}$的极限存在．设$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=A$，则 $$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n\left(1-a_n^n\right)}{1-a_n}=\dfrac{A}{1-A}=\dfrac{1}{2} ,$$ 解得$A=\dfrac{1}{3}$．

所以对于任意给定的$0<\varepsilon <1$，总存在正整数$m$，当$n>m$时，$0<a_n-\dfrac{1}{3}<\varepsilon$．

6、(1)$d(A-C,B-C)=d(A,B)$显然成立．

因为$(a_i-b_i)+(b_i-c_i)+(c_i-a_i)=0$，而$(a_i-b_i)+(b_i-c_i)+(c_i-a_i)$与$|a_i-b_i|+| b_i-c_i |+| c_i-a_i |$的奇偶性相同，故$d(A,B)+d(A,C)+d(B,C)$是偶数．所以$d(A,B),d(A,C),d(B,C)$三个数中至少有一个是偶数．

（2）$\overline{d}(P)=\dfrac{1}{\mathrm C_m^2}\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)$，其中$\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)$表示$P$中所有两个元素间距离的总和．

设$P$中所有元素的第$i$个位置的数字中共有$t_i$个$1$，$m-t_i$个$0$，则 $$\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)=\sum\limits_{i=1}^n t_i(m-t_i).$$

由于$t_i(m-t_i)\leqslant \dfrac{m^2}{4}(i=1,2,\cdots,n)$，所以$\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)\leqslant \dfrac{nm^2}{4}$.

从而$\overline{d}(P)=\dfrac{1}{\mathrm C_m^2}\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)\leqslant \dfrac{nm^2}{4\mathrm C_m^2}=\dfrac{mn}{2(m-1)}$.

（3）$S_3$中含有$8$个元素，可将其看成正方体的$8$个顶点．易知集合$M$中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点处．所以集合$M=\{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$，或$M=\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)\}$．

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