一则圆锥曲线题

已知抛物线$y^2=4x$上存在两点$A$，$B$关于直线$y=kx+3$对称，求$k$的取值范围．

对于圆锥曲线的题目，我的观点是直线方程的目的是为了消元．如果不需要求弦长，那么设直线方程基本上是多余的．体现在这道试题上，应该怎么解呢？

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设$A(4m^2,4m)$，$B(4n^2,4n)$，$m,n>0$则弦$AB$的中点为$M(2(m^2+n^2),2(m+n))$．于是

$$\dfrac {2(m+n)-3}{2(m^2+n^2)-0}\cdot\dfrac {4m-4n}{4m^2-4n^2}=-1,$$ 即 $$2(m^2+n^2)=-2+\dfrac 3{m+n}.$$ 另一方面 $$k=-\dfrac {4m^2-4n^2}{4m-4n}=-(m+n),$$ 因此由 $$2(m^2+n^2)\geqslant (m+n)^2$$ 可得 $$-2-\dfrac 3k\geqslant k^2,$$ 解得$k$的取值范围为$(-1,0)$．