递推数列求通项与裂项求和

数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且$a_2=\sqrt 5$，且当$n\geqslant 2$时，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{a_n^2}{a_{n-1}^2}-2$，求证：

$$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} <\dfrac{1+\sqrt 5}{2}.$$

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解    记$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=b_n$，则

$$b_n=b_{n-1}^2-2,n\geqslant 2.$$

由于$b_1=\dfrac{a_2}{a_1}=\sqrt 5$，于是容易证明

$$\forall n\in\mathcal N^*,b_n>2,$$ 因此可以设$b_n=x_n+\dfrac{1}{x_n}$，且$x_n>1$，并记$\{x_n\}$的首项为$\alpha=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$．

于是递推式变为

$$x_n+\dfrac{1}{x_n}=x_{n-1}^2+\dfrac{1}{x_{n-1}^2},n\geqslant 2,$$ 即 $$x_n=x_{n-1}^2,$$ 可得 $$x_n=\alpha^{2^{n-1}},$$ 进而 $$b_n=\alpha^{2^{n-1}}+\dfrac{1}{\alpha^{2^{n-1}}}.$$

进而计算

$$\begin{split}a_n&=a_1\cdot b_1\cdot b_2\cdots b_{n-1}\\&=\left(\alpha+\dfrac{1}{\alpha}\right)\cdot\left(\alpha ^2+\dfrac{1}{\alpha ^2}\right)\cdots\left(\alpha ^{2^{n-2}}+\dfrac{1}{\alpha ^{2^{n-2}}}\right)\\&=\dfrac{1}{\alpha-\dfrac{1}{\alpha}}\cdot\left(\alpha^{2^{n-1}}-\dfrac{1}{\alpha^{2^{n-1}}}\right)\\&=\alpha^{2^{n-1}}-\dfrac{1}{\alpha^{2^{n-1}}}.\end{split}$$

注意到

$$\begin{split}\dfrac{1}{a_n}&=\dfrac{1}{\alpha^{2^{n-1}}-\dfrac{1}{\alpha^{2^{n-1}}}}\\&=\dfrac{\alpha^{2^{n-1}}}{\alpha^{2^n}-1}\\&=\dfrac{1}{\alpha^{2^{n-1}}-1}-\dfrac{1}{\alpha^{2^n}-1},\end{split}$$

显然有

$$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{1}{\alpha -1}=\dfrac{1+\sqrt 5}{2},$$ 因此原不等式得证．

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注    对于$a_{n+1}=a_n^2-2$型的递推数列，可以改写为

$$\dfrac{1}{2}a_{n+1}=2\cdot\left(\dfrac 12a_n\right)^2-1,$$ 当初值在$[-1,1]$内时，可以令 $$\dfrac 12a_n=\cos\theta_n,$$ 当初值在$[-1,1]$外时，可以令 $$\dfrac 12a_n={\mathrm {ch}} x_n.$$