迭代函数与二阶不动点

问题从2014年北京市朝阳区高三期中考试理科数学第14题（填空压轴题）开始：

已知函数$f(x)=a^x$（$0<a<1$），数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=f(1)$，$a_{n+1}=f\left(a_n\right)$，$n\in\mathcal N^*$，则$a_2$与$a_3$中，较大的是________；$a_{20},a_{25},a_{30}$的大小关系是_______． 

本题应用迭代函数法（可以参考：每日一题[182] 迭代函数法  以及  每日一题[195] 迭代函数法  ．）解决并不困难，在直角坐标平面上作出迭代函数$f(x)=a^x$的图象与直线$y=x$可得数列$\left\{a_n\right\}$的子列$\left\{a_{2n-1}\right\}$单调递增有上界$x_0$，子列$\left\{a_{2n}\right\}$单调递减有下界$x_0$，其中$x_0$为不动点方程 $$a^x=x$$ 的唯一实根．因此答案为$a_2>a_3$，$a_{20}>a_{30}>a_{25}$．

很明显，数列$\left\{a_n\right\}$的子列$\left\{a_{2n-1}\right\}$和子列$\left\{a_{2n}\right\}$均有极限，这个极限一定是$x_0$吗？

为此，我们要研究$f(x)$的二阶不动点方程 $$a^x={\log_a}x,$$ 其中$0<a<1$．

事实上，$f(x)$的一阶不动点$x_0$一定是其二阶不动点．现在假设存在非一阶不动点的二阶不动点$x_1$、$x_2$，则 $$a^{x_1}=x_2\land a^{x_2}=x_1,$$ 于是 $$\ln a=\dfrac{\ln x_2}{x_1}=\dfrac{\ln x_1}{x_2},$$ 从而 $$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2.$$

如图，假设$y=m$与$y=x\ln x$的图象交于两点，交点横坐标分别为$x_1$、$x_2$，其中$x_1<x_2$，$-\dfrac 1{\rm e}<m<0$．记$t=\dfrac{x_2}{x_1}$，则不难得到 $$\ln x_1=\dfrac{t\ln t}{1-t},\ln x_2=\dfrac{\ln t}{1-t},$$ 于是 $$\ln a=t^{\frac{1}{t-1}}\cdot \dfrac{t\ln t}{1-t},$$ 记右侧函数为$\varphi(t)$，则其导函数 $$\varphi'(t)=t^{\frac{t}{t-1}}\cdot \dfrac{\ln t+\left(\sqrt t-\dfrac{1}{\sqrt t}\right)}{(t-1)^3}\cdot \left[\ln t-\left(\sqrt t-\dfrac{1}{\sqrt t}\right)\right],$$ 又考虑到 $$\lim_{t\to 1}t^{\frac{1}{t-1}}\cdot \dfrac{t\ln t}{1-t}=-{\rm e},$$

于是当$0<a<\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\rm e}$时，函数$f(x)=a^x$有三个二阶不动点，且满足 $$a<x_1<\dfrac 1{\rm e}<x_2<1,$$ 这里用到了 $$\dfrac{\ln a}{\ln x_1}=\dfrac 1{x_2}>1.$$

设$a_0=1$，则当$0<a<\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\rm e}$时，由迭代函数的图象与直线$y=x$可得子列$\left\{a_{2n-1}\right\}$单调递增极限为$x_1$，子列$\left\{a_{2n}\right\}$单调递减极限为$x_2$．（图中为$a=0.03$的情形）

当$\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\rm e}\leqslant a<1$时，由迭代函数的图象与直线$y=x$可得子列$\left\{a_{2n-1}\right\}$单调递增极限为$x_0$，子列$\left\{a_{2n}\right\}$单调递减极限为$x_0$．（图中分别为$a=\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\rm e}$和$a=0.3$的情形）

注    本题中的分界点是个很小的数$\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\rm e}\approx 0.0659880358$．在$\left(0,\left(\dfrac 1{\rm e}\right)^{\rm e}\right)$上取$a=\dfrac 1{16}$，则可得$f(x)=a^x$的非一阶不动点的二阶不动点分别为$x_1=\dfrac 14$和$x_2=\dfrac 12$． 

此时数列的散点图如图．很明显两个子列的极限不同．