2014年海淀高三期中考试压轴题

        今年北京市海淀区高三期中考试压轴题改为了导数题，增加了一道常规的数列大题．本来想看看组合大题的，有点微微的失落啊．这次的导数大题对于学过切线法的同学可以说是轻而易举，稍微有些困扰的地方是对异常的处理．

        题目是这样的：

设函数$f(x)=\dfrac 1{5x^2+16x+23}$，$L$为曲线$C:y=f(x)$在点$\left(-1,\dfrac 1{12}\right)$处的切线．

(I) 求$L$的方程；

(II) 当$x<-\dfrac 15$时，证明：除切点$\left(-1,\dfrac 1{12}\right)$之外，曲线$C$在直线$L$的下方；

(III) 设$x_1,x_2,x_3\in\mathbf R$，且满足$x_1+x_2+x_3=-3$，求$f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)$的最大值．

(I) $L:y=-\dfrac 1{24}x+\dfrac 1{24}$；

(II) 略；

(III) 通过前两小题的描述，我们对函数的图象有一个比较清晰的认识：

由(II)，若$x<-\dfrac 15$，则 $$f(x)\leqslant -\dfrac 1{24}x+\dfrac 1{24}("="iff x=-1).$$

第一种情况，$x_1,x_2,x_3 \leqslant -\dfrac 15$．这是我们喜闻乐见的，因为可以这样（其实就是切线法）：

$$\sum f(x)\leqslant -\dfrac 1{24} \sum x+\dfrac 18=\dfrac 14("="iff x_1=x_2=x_3=-1).$$

第二种情况，也就是异常情况．如果三个数中有一个甚至两个跑到了区间$\left(-\infty,-\dfrac 15\right)$外，那么用放缩估计：

$$\sum f(x) \leqslant \dfrac 1{10}+\dfrac 5{51}\times 2<\dfrac 14 \lor \sum f(x) \leqslant \dfrac 1{10}\times 2+\dfrac 5{51}<\dfrac 14.$$

呃，就这么简单！最粗略的估计就够用了......

这样我们就得到了$f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)$的最大值为$\dfrac 14$．