每日一题[1483]可重复数列

给定项数 $m$（$m\in\mathbb N^{*}$，$m\geqslant 3$）的数列 $\{a_{n}\}$，其中 $a_{i}\in\{0,1\}$（$i=1,2,\cdots,m$）．若存在一个正整数 $k(2\leqslant k\leqslant m-1)$，若数列 $\{a_{n}\}$ 中存在连续的 $k$ 项和该数列中另一个连续的 $k$ 项恰好按次序对应，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“$k$ 阶可重复数列”，例如：数列 $\{a_{n}\}:0,1,1,0,1,1,0$．因为 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 与 $a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ 按次序对应相等，所以数列 $\{a_{n}\}$ 是“$4$ 阶可重复数列”．

1、分别判断下列数列：

① $\{b_{n}\}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0$；

② $\{c_{n}\}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1$．

是否是“$5$ 阶重复数列”？如果是，请写出重复的这 $5$ 项．

2、若项数为 $m$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 一定是“$3$ 阶可重复数列”，则 $m$ 的最小值是多少？说明理由．

3、假设数列 $\{a_{n}\}$ 不是“$5$ 阶可重复数列”，若在其最后一项 $a_{m}$ 后再添加一项 $0$ 或 $1$，均可使新数列是“$5$ 阶可重复数列”，且 $a_{4}=1$，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最后一项 $a_{m}$ 的值．

解析

1、① 是，$0,0,1,1,0$；② 不是．

2、先构造一个尽可能长的非“$3$ 阶可重复数列”，如 $0001011100$．该数列中组合 $000\sim 111$ 均已出现． 若 $m\geqslant 11$，则此时 $(a_{1},a_{2},a_{3})$，$(a_{2},a_{3},a_{4})$，$\cdots$，$a_{9},a_{10},a_{11})$ 共 $9$ 组连续 $3$ 项中必然会出现相同的组． 综上，$m$ 的最小值为 $11$．

3、数列 $\{a_{m}\}$ 为 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots,a_{m-4},a_{m-3},a_{m-1},a_{m}$，其中 $a_{4}=1$．根据题意存在 $1\leqslant i,j\leqslant m-4$，使得

$$\left(a_{i},a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},a_{i+4}\right)=\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m},0\right),$$ 且 $$\left(a_{j},a_{j+1},a_{i+2},a_{j+3},a_{j+4}\right)=\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m},0\right),$$ 于是 $a_{i+4}=0$，$a_{j+4}=1$，所以 $i\ne j$，不妨设 $i<j$． 此时 $$\left(a_{i},a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3}\right)=\left(a_{j},a_{j+1},a_{i+2},a_{j+3}\right)=\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m}\right).$$ 若 $i\ne 1$，则 $\left(a_{i},a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3}\right)$，$\left(a_{j},a_{j+1},a_{i+2},a_{j+3}\right)$，$\left(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-1},a_{m}\right)$ 中必然会出现两个相同的连续 $5$ 项，矛盾． 所以 $i=1$，即 $$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})=(a_{m-3},a_{m-2},a_{m-2},a_{m}),$$ 所以 $a_{m}=a_{4}=1$．