每日一题[3783]椭圆的定义

2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17

建立如图所示的坐标系．矩形 $ABCD$ 中，$|AB|=4$，$|BC|=2\sqrt 3$．$E,F,G,H$ 分别是矩形四条边的中点，直线 $HF,BC$ 上的动点 $R,S$ 满足 $\overrightarrow{OR}=\lambda\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{CS}=\lambda\overrightarrow{CF}$（$\lambda\in \mathbb R$），直线 $ER$ 与 $GS$ 的交点为 $P$．

1、证明点 $P$ 在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程；

2、当 $\lambda=\dfrac 1 2$ 时，过点 $R$ 的直线 $l$（与 $x$ 轴不重合）与 $(1)$ 中的椭圆交于 $M,N$ 两点，过点 $N$ 作直线 $x=4$ 的垂线，垂足为点 $Q$．设直线 $MQ$ 与 $x$ 轴交于点 $K$，求 $\triangle KMR$ 面积的最大值．

解析

1、根据题意，直线 $PG,PE$ 的斜率之积\[k_{PG}\cdot k_{PE}=-\dfrac{|CS|}{|GC|}\cdot \dfrac{|OE|}{|OR|}=-\dfrac{|CS|}{|OF|}\cdot \dfrac{|CF|}{|OR|}=-\dfrac{\lambda \cdot |CF|^2}{\lambda \cdot |OF|^2}=-\dfrac 34,\]根据椭圆的斜率积定义，点 $P$ 在以 $E,G$ 为短轴顶点的椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 上．

2、当 $\lambda=\dfrac 12$ 时，$R(1,0)$ 为椭圆的右焦点，此时直线 $x=4$ 为椭圆的右准线，设 $T(4,0)$，则 $K$ 为 $RT$ 的中点 $\left(\dfrac 52,0\right)$，进而 $|RK|$ 为定值 $\dfrac 32$，设 $MN$ 的倾斜角为 $\theta$，则\[[\triangle KMR]=\dfrac 12\cdot |RK|\cdot d(M,Ox)\leqslant \dfrac 12\cdot \dfrac 32\cdot \sqrt 3=\dfrac{3\sqrt 3}4,\]等号当 $M$ 在短轴端点时取得，因此所求面积的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}4$．