一道整除问题

试确定所有使得$\left({\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2+{\rm C}_n^3\right)\mid 2^n$的正整数$n$($n\geqslant 3$).


分析与解 因为左边的组合数的和等于$\dfrac 16(n+1)(n^2-n+6)$,所以题意即$$(n+1)(n^2-n+6)=3\cdot 2^m,m\in\mathcal N,m<n.$$
情形一 $n+1=2^k$.

此时$$2^k[(2^k-1)^2-(2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$即$$2^{3k}+2^{k+3}-2^{2k+1}-2^{2k}=2^{m+1}+2^m,$$有解$(k,m)=(2,4),(3,7)$,而当$k\geqslant 4$时,有$$3k>2k+1>2k>k+3,$$于是该方程无解.

情形二 $n+1=3\cdot 2^k$.

此时$$3\cdot 2^k[(3\cdot 2^k-1)^2-(3\cdot 2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$即$$2^{3k+3}+2^{3k}-2^{2k+3}-2^{2k}+2^{k+3}=2^m,$$有解$(k,m)=(3,12)$,而当$k\geqslant 4$时,有$$3k+3>3k>2k+3>2k>k+3,$$于是该方程无解.

综上所述,所有符合题意的正整数$n$为$3,7,23$.

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