2016年山东卷理科数学压轴题（解析几何大题）

平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率是$\dfrac{\sqrt 3}{2}$，抛物线$E:x^2=2y$的焦点$F$是$C$的一个顶点．

(1) 求椭圆$C$的方程；

(2) 设$P$是$E$上的动点，且位于第一象限，$E$在点$P$处的切线$l$与$C$交于不同的两点$A,B$，线段$AB$的中点为$D$，直线$OD$与过$P$且垂直于$x$轴的直线交于点$M$．

(i) 求证：点$M$在定直线上；

(ii) 直线$l$与$y$轴交于点$G$，记$\triangle PFG$的面积为$S_1$，$\triangle PDM$的面积为$S_1$，求$\dfrac{S_1}{S_2}$的最大值及取得最大值时点$P$的坐标．

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解    (1) 根据题意，有$F$点的坐标为$\left(0,\dfrac 12\right)$，于是$b=\dfrac 12$．又根据离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$可得

$$a^2=4b^2=1,$$ 于是椭圆$C$的方程为 $$x^2+4y^2=1.$$

(2) (i) 设$P(2t,2t^2)$，则切线$l$的方程为

$$y=2tx-2t^2.$$ 由椭圆的“垂径定理”可得直线$OM$的斜率与直线$AB$的斜率满足 $$k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$ 从而可得$k_{OM}=-\dfrac{1}{8t}$，于是不难计算得$M$的坐标为$\left(2t,-\dfrac 14\right)$，因此点$M$在定直线$y=-\dfrac 14$上．

(ii) 由$\triangle DPM$与$\triangle DGO$相似可得

$$S_2=\dfrac{|PM|}{|PM|+|OG|}\cdot \dfrac 12\cdot |PM|\cdot d(O,PM),$$ 因此 $$\begin{split} \dfrac{S_1}{S_2}&=\dfrac{ \left(2t^2+\dfrac 12\right)\cdot 2t}{2t\cdot\left(2t^2+\dfrac 14\right)\cdot\dfrac{2t^2+\dfrac 14}{4t^2+\dfrac 14}}\\ &=\dfrac{(8t^2+2)(16t^2+1)}{(8t^2+1)^2} \\ &\leqslant \left[\dfrac{(8t^2+2)+(16t^2+1)}2\right]^2\cdot \dfrac{1}{(8t^2+1)^2} \\ &=\dfrac 94,\end{split}$$ 等号当 $$8t^2+2=16t^2+1$$ 时，即$t=\dfrac{1}{2\sqrt 2}$时取得．因此所求的最大值为$\dfrac 94$，此时点$P$的坐标为$\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac 14\right)$．