一般圆锥曲线的“垂径定理”

已知某椭圆的焦点是\(F_1(-4,0)\)，\(F_2(4,0)\)，过点\(F_2\)并垂直于\(x\)轴的直线与椭圆的一个交点为\(B\)，且\(|F_1B|+|F_2B|=10\)．椭圆上不同的两点\(A(x_1,y_1)\)，\(C(x_2,y_2)\)满足条件：\(|F_2A|\)、\(|F_2B|\)、\(|F_2C|\)成等差数列．

(1) 求该椭圆的方程；

(2) 求弦\(AC\)中点的横坐标；

(3) 设弦\(AC\)的垂直平分线的方程为\(y=kx+m\)，求\(m\)的取值范围．

(1) \(\dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}9=1\)；

(2) 由椭圆的焦半径公式以及椭圆的通径长公式\[(a-ex_1)+(a-ex_2)=2\cdot \dfrac {b^2}{a}\]不难得到\(x_1+x_2=8\)．于是弦\(AC\)中点\(M(x_0,y_0)\)的横坐标\(x_0=4\)；

(3) 由椭圆的垂径定理，得\[k_{AC}\cdot k_{OM} = - \dfrac {b^2}{a^2}=-\dfrac 9{25}.\]

根据题意又有\[k\cdot k_{AC}=-1.\]

两式相除，得\[k=\dfrac {25}9 \cdot k_{OM} = \dfrac {25y_0}{36}.\]

另一方面，由于\(M\)在弦\(AC\)的垂直平分线上，于是\[m=y_0-4k=-\dfrac {16y_0}9.\]

因为\(y_0\)的取值范围为\(\left(-\dfrac 95,\dfrac 95\right)\)，因此\(m\)的取值范围是\(\left(-\dfrac {16}5,\dfrac {16}5\right)\)．

最后顺便指出，弦\(AC\)的垂直平分线过\(x\)轴上的定点．

        值得注意的是，不仅圆、椭圆、双曲线这些有心二次曲线有“垂径定理”，双曲线的两条渐近线\(\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2}=0\)作为退化的双曲线，也有与双曲线相似的“垂径定理”．下题（2014年浙江理16）就是很经典的一例：

设直线\(x-3y+m=0(m\neq 0)\)与双曲线\(\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>1,b>0)\)的两条渐近线分别交于点\(A\)、\(B\)．若点\(P(m,0)\)满足\(|PA|=|PB|\)，则该双曲线的离心率是________．

设弦\(AB\)的中点为\(M(x_0,y_0)\) ,则根据题意，\[x_0-3y_0+m=0,\dfrac {y_0-0}{x_0-m}\cdot \dfrac 13=-1.\]解之得\(\dfrac {y_0}{x_0}=\dfrac 34\)．

由“垂径定理”，有\[\dfrac {y_0}{x_0}\cdot \dfrac 13=\dfrac {b^2}{a^2}\Rightarrow a^2=4b^2.\]

因此可得该双曲线的离心率\(e=\dfrac {\sqrt 5}2\)．