切线与切线长

上周的方法技巧中的重要三角形由弦心距、半弦长与半径构成，这周我们来关注另一个重要直角三角形，即由切线长$PA$、圆外一点与圆心连线$PC$以及半径$r$构成的直角三角形，有$PC^2=PA^2+r^2$，如图：

在很多问题中，要将切线长$PA$的最值问题转化成$PC$的最值问题．

例题一　已知$P$是直线$3x+4y+8=0$上的动点，$PA,PB$是圆$x^2+y^2-2x-2y+1=0$的两条切线，$A,B$是切点，$C$是圆心，则四边形$PACB$面积的最小值为_________．

分析与解　因为四边形$PACB$的面积 $$S=2\cdot\dfrac 12\cdot PA\cdot r=PA,$$ 所以本题即求切线长$PA$的最小值，如图：

因为$PA=\sqrt{PC^2-1}$，所以只需要求出$PC$的最小值即可，当$CP$与直线垂直时，$PC$有最小值 $$\dfrac {3+4+8}{\sqrt{3^2+4^2}}=3,$$ 所以 $$S_{\min}=(PA)_{\min}=\sqrt{9-1}=2\sqrt 2.$$

例题二　已知圆$O:x^2+y^2=2$，直线$l:x+2y-4=0$，点$P(x_0,y_0)$在直线$l$上，若存在圆$C$上的点$Q$，使得$\angle OPQ=45^\circ$（$O$为坐标原点），则$x_0$的取值范围是________．

分析与解　过$P$作圆$O$的切线$PA,PB$，其中$A,B$为切点，则对于圆上任意一点$Q$，有$\angle OPQ\leqslant \angle OPA$，且等号可取到．故当$\angle OPA\geqslant 45^\circ$时，$P$点满足要求，如下图：

在$\rm{Rt}\triangle OAP$中，有 $$\sin\angle OPA=\dfrac {OA}{OP}=\dfrac {\sqrt 2}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\geqslant \dfrac {\sqrt 2}{2},$$ 又$x_0+2y_0-4=0$，解得$0\leqslant x_0\leqslant \dfrac 85$．

最后给出两道练习：

练习一　点$P$是直线$2x+y+10=0$上的动点，直线$PA,PB$分别与圆$x^2+y^2=4$相切于$A,B$两点，则四边形$PAOB$的面积的最小值是_____．

答案　$8$．

练习二　已知点$P$是直线$x+y=m$上的动点，过$P$引圆$x^2+y^2=1$的两条切线$PA,PB$，满足$PA\perp PB$，求实数$m$的取值范围．

答案　$[-2,2]$．

提示　只需要$OP$能取到${\sqrt 2}r$即可，从而得到原点$O$到直线的距离小于等于$\sqrt 2$．

相关问题见每日一题[452]最大张角（点击阅读原文可直接链接到此篇）．