解题能力的四要素

         上次在《解题的四个阶段----也谈怎样学好数学》中，我们谈了谈如何培养解题能力．那么解题能力具体包含哪些要素呢？

        在我看来一个人在具体解题时，其解题能力是以下四个要素综合构成的：

力量：耐心计算，分类讨论能力；

敏捷：快速试探，精准打击能力；

智力：知识储备，模块重组能力；

运气：自强不息，相信天道佑勤．

这四要素相辅相成，不可偏废．下面就一道具体的题目，解释何谓“力量”，“敏捷”和“智力”．

---

2015年高考四川卷理科数学第21题（压轴题）第（2）小题：

已知函数$f(x)=-2(x+a)\ln x+x^2-2ax-2a^2+a$，其中$a>0$．证明：存在$a\in (0,1)$，使得$f(x)\geqslant 0$在区间$(1,+\infty)$内恒成立，且$f(x)=0$在区间$(1,+\infty)$内有唯一解．

（1）解    根据已知，有

$$g(x)=f'(x)=-2\ln x+2x-2-\dfrac{2a}{x}-2a,$$ 于是 $$g'(x)=\dfrac{2}{x^2}\left(x^2-x+a\right),$$ 因此

当$0<a<\dfrac 14$时，$g(x)$在$\left(0,\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}2\right)$上单调递增，在$\left(\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}2,\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2}\right)$上单调递减，在$\left(\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}2,+\infty\right)$上单调递增；

当$a\geqslant \dfrac 14$时，$g(x)$在$\mathcal R^+$上单调递增．

---

（2）力量型证明    根据题意，函数$f(x)$的图象应该如图所示．

 考虑函数$g(x)$，由于$g'(1)=2a>0$，于是在$(1,+\infty)$上$g(x)$单调递增．又$g(1)=-4a<0$，$g(+\infty)>0$，于是$f(x)$在$(1,+\infty)$上先单调递减，再单调递增，有极小值点．设$f(x)$的极小值点为$x=x_0$，则

$$\begin{cases}-\ln x_0+x_0-1-a\left(\dfrac 1{x_0}+1\right)=0,\\-2(x_0+a)\ln x_0+x_0^2-2ax_0-2a^2+a=0,\end{cases}$$ 我们的目标是证明这个二元方程组有实数解，且至少有一组解满足限制条件 $$x_0>1\land 0<a<1.$$

采用消元的策略，由第一个方程可得

$$a=\dfrac{-\ln x_0+x_0-1}{x_0^{-1}+1},$$ 代入第二个方程有 $$-2\left(x_0+\dfrac{-\ln x_0+x_0-1}{x_0^{-1}+1}\right)\ln x_0+x_0^2-2x_0\cdot \dfrac{-\ln x_0+x_0-1}{x_0^{-1}+1}-\left(\dfrac{-\ln x_0+x_0-1}{x_0^{-1}+1}\right)^2+\dfrac{-\ln x_0+x_0-1}{x_0^{-1}+1}=0,$$ 记该方程左边为$\varphi (x_0)$，则 $$\varphi (1)=1>0,$$ 且 $$\begin{split}\varphi ({\rm e})&=\left({\rm e-2}\right)\left[-\dfrac{\rm e}{{\rm e}^{-1}+1}-2\dfrac {{\rm e}-2}{\left( {\rm e}^{-1}+1\right)^2}\right]\\&<0,\end{split}$$ 因此必然存在$x_0\in (1,{\rm e})$，使得$\varphi (x_0)=0$．

此时

$$a=\dfrac{-\ln x_0+x_0-1}{x_0^{-1}+1},$$ 记该方程右边为$\mu (x_0)$，则 $$\mu' (x_0)=\dfrac{x_0^2+x_0-2-\ln x_0}{(1+x_0)^2},$$ 当$x_0\in (1,{\rm e})$时，函数$\mu (x_0)$单调递增（如上图），于是 $$0<a<\dfrac{{\rm e}-2}{{\rm e}^{-1}+1}<1,$$ 因此原命题得证．

---

 敏捷型证明    （南开中学吴剑）在“力量型证明”得到方程组后，将第一个方程变形为

$$-x_0\ln x_0+x_0^2-(a+1)x_0-a=0,$$ 与第二个方程作差，整理得 $$(x+2a)(a+\ln x -1)=0,$$ 因此$a=1-\ln x$，代入 $$-x_0\ln x_0+x_0^2-(a+1)x_0-a=0,$$ 可得 $$x_0^2-2x_0-1+\ln x_0=0,$$ 容易判断出$x_0\in (1,{\rm e})$，因此对应的$a\in (0,1)$，命题得证．

---

智力型证明    利用“清君侧，靖国难”的想法，可以研究函数

$$g(x)=\dfrac{f(x)}{x+a}=-2\ln x+\dfrac{x^2-2ax-2a^2+a}{x+a},$$ 这样原问题可以转化为函数$g(x)$在$(1,+\infty)$上最小值为$0$，且最小值点$x_0$唯一．此时$g(x)$的导函数 $$g'(x)=\dfrac{(x+2a)(x-1+\sqrt{1+a})(x-1-\sqrt{1+a})}{x(x+a)^2},$$ 于是其极小值点，亦为最小值点 $$x_0=1+\sqrt{1+a},$$ 从而 $$a=x_0^2-2x_0,$$ 因此函数$g(x)$的最小值为 $$-2\ln x_0-2x_0^2+4x_0+2=0,$$ 从而可以估计出$x_0\in  (1,{\rm e})$，因此对应的$a\in (0,1)$，命题得证．

---

        在这个问题中，当极值点$x_0$无法用参数$a$表示时，我们会用$x_0$表示$a$，然后得到关于$x_0$的方程，通过估计$x_0$的范围反过来估计$a$的范围．在这个思路的引导下，力量型证明充分的展示了对思路信仰以及强大的计算能力．如果注意到联立方程组，通过代数变形可以大大简化$a$与$x_0$的关系，而非简单粗暴的代入消元，那么就展现了简化问题进而精准打击的能力．最后，如果有处理对数函数的知识储备，那么就可以考虑利用“清君侧”转化原来的复杂函数，通过一次求导得到极值点，然后利用与主思路一致的方式解决问题．同时，由于转化后的函数与原来的函数的零点一致，因此又可以引导出敏捷型解法．