目标函数比值型的规划问题

在线性规划问题中，有一类目标函数是以比值形式出现的，比如$z=\dfrac {y-2}{x+1}$，通常遇到这类比值都会联想到斜率公式，比如上面这个目标函数表示可行域内的点$(x,y)$与定点$(-1,2)$的连线的斜率，再借助可行域与定点的位置关系就可以得到斜率的范围．有时，转化会更复杂，需要进行适当的换元，将原来的$(x,y)$及其满足的可行域转化成新的未知数与新的相关可行域，再通过斜率的定义去求目标函数的范围．下面我们就具体来看一看．

例题　已知$\begin{cases} x-y+2\geqslant 0,\\x+y-4\geqslant 0,\\2x-y-5\leqslant 0.\end{cases}$

（1）求$z=\dfrac {2y+1}{x+1}$的取值范围；

（2）求$s=\dfrac {x+y}{2x-1}$的取值范围；

（3）求$t=\dfrac {x-2y}{x+y+1}$的取值范围．

分析与解　首先画出可行域：

（1）目标函数

$$z=2\cdot \dfrac {y-\left(-\frac 12\right )}{x-(-1)}$$ 表示可行域中的点与$P\left(-1,-\dfrac 12\right )$连线的斜率的两倍．结合图象知 $$z\in\left[2k_{PB},2k_{PA}\right ]=\left[\dfrac 34,\dfrac 72\right ].$$

（2）对目标函数进行变形有

$$s=\dfrac {x-\frac 12+y+\frac 12}{2\left(x-\frac 12\right )}=\dfrac 12+\dfrac 12\cdot\dfrac {y+\frac 12}{x-\frac 12}.$$ 于是它表示可行域中的点与$Q\left(\dfrac 12,-\dfrac 12\right )$连线的斜率的一半加上$\dfrac 12$．

结合图象计算得

$$s\in\left[\dfrac 12+\dfrac 12k_{QB},\dfrac 12+\dfrac 12k_{QA}\right ]=\left[\dfrac 45,4\right ].$$

（3）无法直接通过变形将目标函数转化成$\dfrac {y-b}{x-a}$的形式，考虑换元，令

$$\begin{cases} a=x+y+1,\\b=x-2y.\end{cases}$$ 则目标函数为$t=\dfrac{b}{a}$表示点$(a,b)$与原点连线的斜率．

下面求$(a,b)$所在的可行域，反解出$(x,y)$得

$$\begin{cases} x=\dfrac 13(2a+b-2),\\y=\dfrac 13(a-b-1).\end{cases}$$ 代入不等式组中得到$(a,b)$满足 $$\begin{cases} a+2b+5\geqslant 0,\\a-5\geqslant 0,\\a+b-6\leqslant 0.\end{cases}$$ 对应的可行域如下图：

于是得到$t\in\left[-1,\dfrac 15\right ]$．

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最后给出一道练习：

设实数$x,y$满足$\begin{cases} y\leqslant 3,\\x-y-2\leqslant 0,\\3x-2y-6\geqslant 0\end{cases}$．求$z=\dfrac {y-1}{x-1}$与$s=\dfrac{y-2}{x-y}$的取值范围．

答案　$z\in\left[-1,\dfrac 23\right ],s\in[-1,1]$．

更多规划相关问题见每日一题[224]多边形区域与每日一题[186]规划问题．