利用取等条件配凑系数

均值不等式的应用需要一正二定三相等，其中等号取到的条件对于求最值有着很重要的意义．这里我们从另外一个角度去看看，如何有效地利用取等条件作为工具，给一些不等式的证明提供系数配凑的思路，从而达到证明不等式的目的．

例题一　已知正实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$，求证：$\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\leqslant 6$．

分析与证明　容易看出当$a=b=c=1$时，所证不等式恰好取到等号．

于是我们考虑给根式$\sqrt{a+3}$配上一个恰当的系数$m$，使得取等条件恰为$a=1$．因为

$$m\sqrt{a+3}\leqslant \dfrac {m^2+a+3}{2},$$ 当$m=\sqrt {a+3}$时取到等号，故$m$取$2$即可，于是我们得到 $$2\sqrt{a+3}\leqslant \dfrac {4+a+3}{2},$$ 同理有 $$\begin{split} 2\sqrt{b+3}\leqslant &\dfrac {4+b+3}{2},\\2\sqrt{c+3}\leqslant &\dfrac {4+c+3}{2},\end{split}$$ 三式相加得 $$2LHS\leqslant \dfrac {a+b+c+21}{2}=12,$$ 当且仅当$a=b=c=1$时取到等号，于是不等式得证．

注　本题用柯西不等式也很容易解决．

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例题二　已知正实数$a,b$满足$a+b=1$，求证：$\sqrt{a+\dfrac 1a}+\sqrt{b+\dfrac 1b}\geqslant \sqrt{10}$．

分析与证明　容易看出当$a=b=\dfrac 12$时，所证不等式恰好取到等号．

于是我们考虑给将根式中的一项进行拆分，再利用均值不等式，使得取等条件恰好满足，有

$$\begin{split} \sqrt{a+\dfrac 1a}=&\sqrt {a+\dfrac 1{4a}+\dfrac 1{4a}+\dfrac 1{4a}+\dfrac 1{4a}}\\\geqslant &\sqrt{5\cdot\sqrt[5]{\dfrac 1{256a^3}}}\\=&5^{\frac 12}\cdot 2^{-\frac 45}\cdot a^{-\frac{3}{10}}.\end{split}$$ 当且仅当$a=\dfrac 1{4a}$，即$a=\dfrac 12$时取到等号．

对第二个根式采取同样的操作，于是有

$$\begin{split} LHS\geqslant &5^{\frac 12}\cdot 2^{-\frac 45}\cdot\left(a^{-\frac 3{10}}+b^{-\frac 3{10}}\right )\\\geqslant &5^{\frac 12}\cdot 2^{-\frac 45}\cdot 2(ab)^{-\frac{3}{20}}\\\geqslant&5^{\frac 12}\cdot 2^{\frac 15}\cdot\left(\dfrac {a+b}{2}\right )^{-\frac{3}{10}}\\=&\sqrt {10}.\end{split}$$ 当且仅当$a=b=\dfrac 12$时取到等号，于是不等式得证．

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下面给出一道练习：

已知$a,b,c>0$，$a+b+c=1$，求证：$\sqrt{a+5}+\sqrt{b+5}+\sqrt{c+5}\leqslant 4\sqrt 3$．

提示　给每个根式乘上系数$\sqrt{\dfrac {16}{3}}$．

更多相关问题见每日一题[210]代数不等式的证明，题目如下：

已知正实数$a,b$满足$a+b=1$，求证：$\sqrt{a^2+\dfrac 1a}+\sqrt{b^2+\dfrac 1b}\geqslant 3$．