征解问题[5] 组合题（已解决）

这是我的学生朱怡洁提出的问题：

正$n$边形的顶点染若干种颜色（每点染一种颜色，一共至少染两种颜色）．已知每种颜色的所有点都构成一个正多边形．求证：这些同色多边形中必然有两个全等．

 以正$n$边形的中心作为复平面原点，则正$n$边形的顶点集为 $$M=\left\{u\omega^t\left|\right.t=0,1,2,\cdots,n-1\right\},\omega=\cos\frac{2\pi}n+\mathcal i\sin\frac{2\pi}n.$$

反设所有同色多边形互不全等，则它们的边数互不相同，设为$k_1<k2<\cdots<k_r<n,r\geqslant 2$．$M$划分为$r$个子集 $$M_j=\left\{u_j\omega_j^t\left|\right.t=0,1,2,\cdots,k_j-1\right\},\omega_j=\cos\frac{2\pi}{k_j}+\mathcal i\sin\frac{2\pi}{k_j},1\leqslant j\leqslant r.$$

其中$u$和$u_j$都是非零复数，它们的模都等于正$n$边形的外接圆半径．

记 $$S=\sum_{z\in M}z^{k_1},S_j=\sum_{z\in M_j}z^{k_1},$$ 应当有 $$S=\sum_{j=1}^rS_j.$$ 但根据单位根的性质， $$\sum_{i=0}^{m-1}\left(\cos\frac{2\pi}{m}+\mathcal i\sin\frac{2\pi}{m}\right)^{kt}$$ 当$m\nmid k$时等于$0$，而$m \mid k$时等于$m$．故 $$S=S_2=S_3=\cdots=S_r=0,$$ 而 $$S_1=k_1u_1^{k_1}\neq 0,$$ 得出矛盾．

注：此即数论中注明的三角和方法．本题表明，整数集$\mathcal Z$划分为若干个互不相交的双向无穷等差数列只有这样的方式：$\mathcal Z$先划分成$d$个公差为$d$的等差数列，然后其中若干个再分别划分成等公差的数列．

本题为前苏联奥林匹克试题，在网络中被评为最难的数学竞赛试题之一．