题拍拍征解题[44]（已解决）

『28933303』对于一个正整数 $m$，设 $S(m)$ 为其十进制表示下所有数码之和．求证：对任何正整数 $k$，都存在 $n$ 满足 $k\mid n$，且 $S(n)=S(n^2)$．

2021年8月15日，by xixiggg．

由抽屉原理易知：存在 $a,b\in \mathbb{N}^{\ast}$，使 $$10^{a+b}\equiv 10^b\pmod k.$$ 取 $n=10^b(10^a-1)$，则 $k\mid n$，且 $S(n)=9a$．又 $$n^2=10^{2b}(10^{2a}-2\cdot 10^a+1)=10^{2b}\cdot (10^a\cdot (10^a-2)+1),$$ 所以 $$S(n^2)=S(10^a-2)+S(1)=(9a-1)+1=9a,$$ 于是 $S(n)=S(n^2)$，命题得证．