题拍拍征解题[36]（已解决）

『28903573』已知锐角 $\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，过 $A$ 作 $BC$ 的垂线交圆 $O$ 于点 $D$，$K$ 为线段 $BC$ 珊高一点，$E,F$ 分别在 $AC,AB$ 上且 $FB=FK$，$EC=EK$，求证：$DK\perp EF$．

2021年8月5日，by xixiggg．

设 $A,F,E$ 在 $BC$ 边上的投影分别为 $H,M,N$，则 $M,N$ 为 $BK,CK$ 的中点．

易知 $\triangle BMF\backsim \triangle DHC$，故 $$FM\cdot DH=CH\cdot BM.$$ 同理，有 $$EN\cdot DH=BH\cdot CN.$$ 下面证明 $$DF^2-KF^2=DE^2-KE^2.$$ 事实上，有 $$\begin{split}DF^2-KF^2&=(DH+FM)^2+MH^2-FM^2-KM^2\\&=DH^2+2CH\cdot FM+MH^2-MB^2\\&=DH^2+2CH\cdot BM+BH\cdot KH\\&=DH^2+CH\cdot BK+BH\cdot CK-BH\cdot CH,\end{split}$$ 且 $$\begin{split}DE^2-KE^2&=(DH+EN)^2+HN^2-EN^2-KN^2\\&=DH^2+2DH\cdot EH+HN^2-KN^2\\&=DH^2+2BH\cdot CN-KH\cdot CH\\&=DH^2+BH\cdot CK+CH\cdot BK-CH\cdot BH.\end{split}$$ 因此有 $DF^2-KF^2=DE^2-KE^2$．于是，$DK\perp EF$，命题得证．