『28903573』已知锐角 △ABC 内接于圆 O，过 A 作 BC 的垂线交圆 O 于点 D，K 为线段 BC 珊高一点，E,F 分别在 AC,AB 上且 FB=FK，EC=EK，求证：DK⊥EF．
2021年8月5日，by xixiggg．
设 A,F,E 在 BC 边上的投影分别为 H,M,N，则 M,N 为 BK,CK 的中点．
易知 △BMF∽△DHC，故FM⋅DH=CH⋅BM.
同理，有EN⋅DH=BH⋅CN.
下面证明DF2−KF2=DE2−KE2.
事实上，有DF2−KF2=(DH+FM)2+MH2−FM2−KM2=DH2+2CH⋅FM+MH2−MB2=DH2+2CH⋅BM+BH⋅KH=DH2+CH⋅BK+BH⋅CK−BH⋅CH,
且DE2−KE2=(DH+EN)2+HN2−EN2−KN2=DH2+2DH⋅EH+HN2−KN2=DH2+2BH⋅CN−KH⋅CH=DH2+BH⋅CK+CH⋅BK−CH⋅BH.
因此有 DF2−KF2=DE2−KE2．于是，DK⊥EF，命题得证．