『28903573』已知锐角 $\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，过 $A$ 作 $BC$ 的垂线交圆 $O$ 于点 $D$，$K$ 为线段 $BC$ 珊高一点，$E,F$ 分别在 $AC,AB$ 上且 $FB=FK$，$EC=EK$，求证：$DK\perp EF$．
2021年8月5日，by xixiggg．
设 $A,F,E$ 在 $BC$ 边上的投影分别为 $H,M,N$，则 $M,N$ 为 $BK,CK$ 的中点．
易知 $\triangle BMF\backsim \triangle DHC$，故\[FM\cdot DH=CH\cdot BM.\]同理，有\[EN\cdot DH=BH\cdot CN.\]下面证明\[DF^2-KF^2=DE^2-KE^2.\]事实上，有\[\begin{split}DF^2-KF^2&=(DH+FM)^2+MH^2-FM^2-KM^2\\&=DH^2+2CH\cdot FM+MH^2-MB^2\\&=DH^2+2CH\cdot BM+BH\cdot KH\\&=DH^2+CH\cdot BK+BH\cdot CK-BH\cdot CH,\end{split}\]且\[\begin{split}DE^2-KE^2&=(DH+EN)^2+HN^2-EN^2-KN^2\\&=DH^2+2DH\cdot EH+HN^2-KN^2\\&=DH^2+2BH\cdot CN-KH\cdot CH\\&=DH^2+BH\cdot CK+CH\cdot BK-CH\cdot BH.\end{split}\]因此有 $DF^2-KF^2=DE^2-KE^2$．于是，$DK\perp EF$，命题得证．