若 1+12+13+⋯+12016=ab，其中 a,b 为互质的正整数，求证：20172∣a．
2021年7月1日，by xixiggg：
记 p=2017，其为素数．由于p−1∑t=11t=12p−1∑t=1(1t+1p−t)=12p−1∑t=1pt(p−t)=p2p−1∑t=11t(p−t),于是，我们只需证：p−1∑t=11t(p−t) 化为最简分数后分子为 p 的倍数． 注意到 t(p−t) 与 p 互素，其中 t=1,⋯,p−1，所以只需证p−1∑t=11t(p−t)≡0(modp),其中，对 p+x，1x 为 x 的数论倒数．事实上，有p−1∑t=11t(p−t)≡p−1∑t=11−t2≡−p−1∑t=1(1t)2≡−p−1∑t=1t2,这是因为 1t（1⩽t⩽p−1）与 t（1⩽t⩽p−1）均构成模 p 的缩系，所以p−1∑t=1(1t)2≡p−1∑t=1t2≡−16(p−1)⋅p⋅(2p−1)≡0(modp).至此，结论获证．