题拍拍征解问题[29]（已解决）

若 $1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1{2016}=\dfrac ab$，其中 $a,b$ 为互质的正整数，求证：$2017^2\mid a$．

2021年7月1日，by xixiggg：

记 $p=2017$，其为素数．由于 $$\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac 1 t=\dfrac 1 2\sum\limits_{t=1}^{p-1}\left(\dfrac 1 t+\dfrac{1}{p-t}\right)=\dfrac 1 2\sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{p}{t(p-t)}=\dfrac p 2\sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)},$$ 于是，我们只需证：$\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)}$ 化为最简分数后分子为 $p$ 的倍数． 注意到 $t(p-t)$ 与 $p$ 互素，其中 $t=1,\cdots ,p-1$，所以只需证 $$\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)}\equiv 0\pmod p,$$ 其中，对 $p+x$，$\dfrac 1 x$ 为 $x$ 的数论倒数．事实上，有 $$\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)}\equiv\sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{-t^2}\equiv -\sum\limits_{t=1}^{p-1}\left(\dfrac 1 t\right)^2\equiv -\sum\limits_{t=1}^{p-1}t^2,$$ 这是因为 $\dfrac 1 t$（$1\leqslant t\leqslant p-1$）与 $t$（$1\leqslant t\leqslant p-1$）均构成模 $p$ 的缩系，所以 $$\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\left(\dfrac 1 t\right)^2\equiv \sum\limits_{t=1}^{p-1}t^2 \equiv -\dfrac 1 6(p-1)\cdot p\cdot (2p-1)\equiv 0 \pmod p.$$ 至此，结论获证．