题拍拍征解问题[29](已解决)

若 $1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1{2016}=\dfrac ab$,其中 $a,b$ 为互质的正整数,求证:$2017^2\mid a$.


2021年7月1日,by xixiggg:

记 $p=2017$,其为素数.由于\[\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac 1 t=\dfrac 1 2\sum\limits_{t=1}^{p-1}\left(\dfrac 1 t+\dfrac{1}{p-t}\right)=\dfrac 1 2\sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{p}{t(p-t)}=\dfrac p 2\sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)},\]于是,我们只需证:$\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)}$ 化为最简分数后分子为 $p$ 的倍数. 注意到 $t(p-t)$ 与 $p$ 互素,其中 $t=1,\cdots ,p-1$,所以只需证\[\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)}\equiv 0\pmod p,\]其中,对 $p+x$,$\dfrac 1 x$ 为 $x$ 的数论倒数.事实上,有\[\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{t(p-t)}\equiv\sum\limits_{t=1}^{p-1}\dfrac{1}{-t^2}\equiv -\sum\limits_{t=1}^{p-1}\left(\dfrac 1 t\right)^2\equiv -\sum\limits_{t=1}^{p-1}t^2,\]这是因为 $\dfrac 1 t$($1\leqslant t\leqslant p-1$)与 $t$($1\leqslant t\leqslant p-1$)均构成模 $p$ 的缩系,所以\[\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{p-1}\left(\dfrac 1 t\right)^2\equiv \sum\limits_{t=1}^{p-1}t^2 \equiv -\dfrac 1 6(p-1)\cdot p\cdot (2p-1)\equiv 0 \pmod p.\]至此,结论获证.

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