题拍拍征解问题[10]（已解决）

『3724465』已知非零实数 $a,b,c$ 满足 $$(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=a^4,$$ 求 $\dfrac bc-\dfrac cb$ 的最大值与最小值，并指出取得最值时的 $|a|:|b|:|c|$．

（post by 康天华&袁旭华，2020年11月14日提供）

设 $\dfrac ba=x$，$\dfrac ca=y$，$p=\dfrac bc-\dfrac cb$，则 $$p=\dfrac xy-\dfrac yx=\dfrac{x^2-y^2}{xy},$$ 此时根据已知可得 $$(1+x+y)(1+x-y)(x+y-1)(y+1-x)=1,$$ 即 $$x^4+y^4-2x^2y^2+1=2x^2+2y^2-1,$$ 设 $m=x^2-y^2$，$n=x^2+y^2$，不妨设 $m\geqslant 0$，则 $$\dfrac{m^2+n^2}2-\dfrac{n^2-m^2}2+1=2n-1\iff n=\dfrac 12m^2+1,$$ 于是 $$p^2=\left(\dfrac{x^2-y^2}{xy}\right)^2=\dfrac{m^2}{\frac{n^2-m^2}4}=\dfrac{16m^2}{m^4+4}\leqslant 4,$$ 等号当 $m^2=2$，即 $(m,n)=\left(\pm\sqrt 2,1\right)$ 时取得．因此 $\dfrac bc-\dfrac cb$ 的最大值为 $2$，最小值为 $-2$，取得最值时的 $$|a|:|b|:|c|=\sqrt{2-\sqrt 2}:1:(\sqrt 2-1).$$