『2785029』设 x0 是方程 x2019−x−1=0 的正实根，y0 是方程 y4038−y−3x0=0 的正实根．
1、试比较 x0 与 y0 的大小．
2、试求 |x0−y0| 小数点后面的第 10 位数字．
根据2020年10月19日 marpluto 的 post整理：
1、根据题意，有{x20190−1=x0>0⟹x0>1,y40380−y0=3x0>0⟹y0>1,而(x40380−x0)−(y40380−y0)=((x0+1)2−x0)−3x0=(x0−1)2>0,因此x40380−x0>y40380−y0. 记函数 f(x)=x4038−x，则其导函数f′(x)=4038x4037−1,于是函数 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，从而 x0>y0．
2、令 g(x)=x2019−x−1（x>1），则其导函数g′(x)=2019x2018−1>0,于是 g(x) 单调递增，而 g(1)=−1，结合g(20202019)=(1+12019)2019−20202019−1>1+(20191)2019+(20192)20192−1−1−12019>0,可得 1<x0<20202019，因此(x40380−x0)−(y40380−y0)=(x0−1)2<120192,设 h(x)=x4038−4038x（x>1），则其导函数h′(x)=4038x4037−4038>0,于是函数 h(x) 单调递增，从而x40380−4038x0>y40380−4038y0⟹x4038−y40380>4038(x0−y0),从而120192>(x40380−x0)−(y40380−y0)>4037(x0−y0),于是1<|x0−y0|<14037⋅20192<11010,因此 |x0−y0| 小数点后面的第 10 位数字为 0．
原题题干为 x2019−x−1=0. 不知这题是否有打印错误?下面是原题的解答.
(1)根据题意,有 x20190−1=x0>0⟹x0>1, 且 y40380−y0=3x0>0⟹y0>1, 于是 (x40380−x0)−(y40380−y0)=(x0−1)2>0, 因此 x40380−x0>y40380−y0.
构造函数 f(x)=x4038−x (x>1), 则其导函数 f′(x)=4038x4037−1>0, 于是函数 f(x) 单调递增,从而 x0>y0.
(2)令 g(x)=x2019−x−1 (x>1), 则其导函数 g′(x)=2019x2018−1>0, 于是 g(x) 单调递增,结合 g(1)=−11+2019⋅(20202019−1)+2019⋅20182⋅(20202019−1)2−20202019−1>0,\]可得1<x_0<\dfrac{2020}{2019},因此\[(x40380−x0)−(y40380−y0)=(x0−1)21), 则其导函数 h′(x)=4038x4037−4038>0, 于是函数 h(x) 单调递增,从而 120192>(x40380−x0)−(y40380−y0)>(4038x0−4038y0)−(x0−y0)=4037(x0−y0), 于是 1<|x0−y0|<14037⋅20192<11010, 因此 |x0−y0| 小数点后面的第 10 位数字为 0.
不知道为什么发出来就有些是乱码了。。。
有些$开头\]结尾的，然后有些小步骤神秘消失了．我整理好了~
此题为陈题，可以在《学数学》专辑中找到，不宜作为征解的题目。
感谢指出出处，能否po一下原题及解析已便关闭此问题，谢谢！