『2560028』求所有的三元正整数组 $(a,b,c)$ 满足 $a^2+b+3=(b^2-c^2)^2$．
2020年10月11日上午8点53分，louxin2020提供：
根据题意，有\[(b^2-c^2+a)(b^2-c^2-a)=b+3,\]设 $r=b^2-c^2+a$，$s=b^2-c^2-a$，则\[\begin{cases} a=\dfrac{r-s}2,\\ b=rs-3,\\ c^2=(rs-3)^2-\dfrac{r+s}2,\end{cases}\]由于 $a,b,c\in\mathbb N^{\ast}$，于是 $r-s\geqslant 2$，$rs\geqslant 4$ 且 $r,s$ 同奇偶．
情形一 $r,s$ 均为正整数．此时由 $c^2$ 为平方数，可得\[(rs-3)^2-\dfrac{r+s}2\leqslant (rs-4)^2\iff (4s-1)(4r-1)\leqslant 57,\]而 $r-s\geqslant 2$，于是\[(4s-1)(4s+7)\leqslant 57\implies s=1,\]进而 $r\leqslant 5$，而 $rs\geqslant 4$，从而 $r=5$，解得 $(a,b,c)=(2,2,1)$．
情形二 $r,s$ 均为负整数．此时由 $c^2$ 为平方数，可得\[(rs-3)^2-\dfrac{r+s}2\geqslant (rs-2)^2\iff 2rs+\dfrac{r+s}2\leqslant 5\iff (4s+1)(4r+1)\leqslant 41,\]又 $rs\geqslant 4$，于是 $r+s\leqslant -6$，又 $r-s\geqslant 2$，从而 $s\leqslant -4$，从而\[(4s+1)(4r+1)\geqslant (-15)\cdot (-3)=45,\]矛盾．
综上所述，所有符合题意的三元正整数组 $(a,b,c)$ 为 $(2,2,1)$．
2020年10月11日上午9点10分，康天华和袁旭华共同提供．
由等式右边为完全平方数可知 $a^2+b+3$ 是完全平方数，且大于 $a^2$，于是不妨设\[a^2+b+3=(a+k)^2=(b+c)^2(b-c)^2,\quad k\in\mathbb N^{\ast},\]于是 $b=2ak+k^2-3$．
情形一 $b>c$．设 $b=c+n$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，则\[(a+k)^2=n^2(b+c)^2\iff a+k=n(b+c)=n(2b-n),\]将 $b=2ak+k^2-3$ 代入上式有\[a+k=n\big(2(2ak+k^2-3)-n\big)\iff a=\dfrac{-2nk^2+k+n^2+6n}{4kn-1},\]设右边为 $f(k)$，则其导函数\[f'(k)=\dfrac{-8n^2k^2+4nk-1-4n^3-24n^2}{(4kn-1)^2},\]设分子部分为 $g(k)$，则其导函数\[g'(k)=4n(1-4k)<0,\]于是 $g(k)$ 在 $k\in\mathbb N^{\ast}$ 上单调递减，进而\[g(k)\leqslant g(1)=-4n^3-32n^2+4n-1<0,\]因此 $f(k)$ 在 $k\in\mathbb N^{\ast}$ 上单调递减，且 $k=1$ 时取得最大值，于是对于每一个 $n$，$a$ 的最大值为\[\dfrac{-2nk^2+k+n^2+6n}{4kn-1}\Bigg|_{n=1}=\dfrac{k^2+4k+1}{4k-1},\]对应的\[c=b-k=\dfrac{-2k^2+k+4}{4k-1},\]而当 $k\geqslant 2$ 时，$c<0$，因此 $k=1$，从而 $(a,b,c)=(2,2,1)$．
情形二 $b<c$．同理可得\[c=b+k=\dfrac{2k^2-k+4}{4k-1},\]从而\[b=\dfrac{-2k^2+4}{4k-1},\]从而当 $k\geqslant 2$ 时，$b_k<0$；当 $k=1$ 时，$b=\dfrac 23$，无解．
综上所述，符合题意的所有三元正整数组 $(a,b,c)=(2,2,1)$．
为了找到满足方程 $a^2 + b + 3 = (b^2 - c^2)^2$ 的所有正整数三元组 $(a, b, c)$，我们对 $b$ 和 $c$ 的关系进行分类讨论。
首先，由于 $a, b, c$ 都是正整数，所以 $a \ge 1, b \ge 1, c \ge 1$。
方程左侧 $a^2 + b + 3 \ge 1^2 + 1 + 3 = 5$。
因此，方程右侧 $(b^2 - c^2)^2 \ge 5$，这意味着 $b^2 - c^2 \ne 0$，所以 $b \ne c$。
**情况 1: $b = c$**
如果 $b = c$，则 $b^2 - c^2 = 0$。
方程变为 $a^2 + b + 3 = 0$。
然而，由于 $a \ge 1, b \ge 1$，所以 $a^2 + b + 3 \ge 1^2 + 1 + 3 = 5$。
因此，$a^2 + b + 3$ 不可能等于 0。
所以，在此情况下无解。
**情况 2: $b 4b^2$ (因为 $3b - 2 > 0$ 对于 $b \ge 1$ 成立)。
$4b^2 + 3b - 2 < 4b^2 + 4b + 1$ (因为 $3b - 2 < 4b + 1 \Rightarrow -b -3$，对于 $b \ge 1$ 成立)。
因此，对于所有正整数 $b$，我们有 $(2b)^2 < 4b^2 + 3b - 2 0$，所以 $X^2 - (b + 3)$ 必须是小于 $X^2$ 的某个完全平方数。
因此，存在一个正整数 $k \ge 1$，使得 $X^2 - (b + 3) = (X - k)^2$。
$X^2 - (b + 3) = X^2 - 2kX + k^2$。
$b + 3 = 2kX - k^2$。
将 $X = 2bd + d^2$ 代入：
$b + 3 = 2k(2bd + d^2) - k^2$。
$b + 3 = 4kbd + 2kd^2 - k^2$。
整理得到 $b$ 的表达式：
$b(1 - 4kd) = 2kd^2 - k^2 - 3$。
$b = \frac{2kd^2 - k^2 - 3}{1 - 4kd}$。
由于 $b$ 是正整数，所以 $b \ge 1$。
因为 $k \ge 1$ 且 $d \ge 2$，所以 $4kd \ge 4(1)(2) = 8$。
因此，分母 $1 - 4kd \le 1 - 8 = -7$，是负数。
为了使 $b$ 为正，分子 $2kd^2 - k^2 - 3$ 也必须是负数。
即 $2kd^2 - k^2 - 3 < 0 \Rightarrow k(2d^2 - k) < 3$。
由于 $d \ge 2$，所以 $2d^2 \ge 2(2^2) = 8$。
所以 $k(2d^2 - k) \ge k(8 - k)$。
我们分析 $k(8 - k) < 3$。
如果 $k=1$， $1(8-1) = 7 \not< 3$。
如果 $k=2$， $2(8-2) = 12 \not< 3$。
...
如果 $k=7$， $7(8-7) = 7 \not< 3$。
如果 $k=8$， $8(8-8) = 0 < 3$。
此时 $k=8$， $2kd^2 - k^2 - 3 = 2(8)d^2 - 8^2 - 3 = 16d^2 - 64 - 3 = 16d^2 - 67$。
我们需要 $16d^2 - 67 < 0 \Rightarrow 16d^2 < 67 \Rightarrow d^2 < 67/16 = 4.1875$。
由于 $d$ 是整数且 $d \ge 2$，所以 $d^2 = 4$，即 $d = 2$。
代入 $b$ 的表达式：$b = \frac{16(2^2) - 67}{1 - 4(8)(2)} = \frac{64 - 67}{1 - 64} = \frac{-3}{-63} = \frac{1}{21}$。
这不是一个整数，所以 $(k, d) = (8, 2)$ 不产生解。
如果 $k \ge 9$，则 $8 - k$ 是负数，所以 $k(8 - k)$ 也是负数，因此 $k(2d^2 - k) c$**
令 $b = c + d$，其中 $d$ 是正整数 ($d \ge 1$)。
则 $b^2 - c^2 = (c + d)^2 - c^2 = 2cd + d^2$。
方程变为 $a^2 + b + 3 = (2cd + d^2)^2$。
$a^2 + c + d + 3 = (2cd + d^2)^2$。
**子情况 3.1: $d = 1$**
此时 $b = c + 1$。
方程变为 $a^2 + c + 1 + 3 = (2c + 1)^2$。
$a^2 + c + 4 = 4c^2 + 4c + 1$。
$a^2 = 4c^2 + 3c - 3$。
我们需要 $4c^2 + 3c - 3$ 是一个完全平方数。
考虑 $(2c)^2 = 4c^2$ 和 $(2c + 1)^2 = 4c^2 + 4c + 1$。
如果 $c = 1$：
$a^2 = 4(1)^2 + 3(1) - 3 = 4 + 3 - 3 = 4$。
$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ (因为 $a$ 是正整数)。
此时 $c = 1$， $b = c + 1 = 2$。
得到解 $(a, b, c) = (2, 2, 1)$。
验证：$2^2 + 2 + 3 = 4 + 2 + 3 = 9$。
$(2^2 - 1^2)^2 = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9$。
此解成立。
如果 $c \ge 2$：
$4c^2 + 3c - 3 > 4c^2$ (因为 $3c - 3 > 0$ 对于 $c \ge 2$ 成立)。
$4c^2 + 3c - 3 < 4c^2 + 4c + 1$ (因为 $3c - 3 < 4c + 1 \Rightarrow -c -4$，对于 $c \ge 2$ 成立)。
因此，对于所有整数 $c \ge 2$，我们有 $(2c)^2 < 4c^2 + 3c - 3 0$，所以存在一个正整数 $k \ge 1$，使得 $X^2 - (c + d + 3) = (X - k)^2$。
$X^2 - (c + d + 3) = X^2 - 2kX + k^2$。
$c + d + 3 = 2kX - k^2$。
将 $X = 2cd + d^2$ 代入：
$c + d + 3 = 2k(2cd + d^2) - k^2$。
$c + d + 3 = 4kcd + 2kd^2 - k^2$。
整理得到 $c$ 的表达式：
$c(1 - 4kd) = 2kd^2 - k^2 - d - 3$。
$c = \frac{2kd^2 - k^2 - d - 3}{1 - 4kd}$。
由于 $c$ 是正整数，所以 $c \ge 1$。
因为 $k \ge 1$ 且 $d \ge 2$，所以 $4kd \ge 8$。
因此，分母 $1 - 4kd \le -7$，是负数。
为了使 $c$ 为正，分子 $2kd^2 - k^2 - d - 3$ 也必须是负数。
即 $2kd^2 - k^2 - d - 3 < 0$。
令 $g(d) = 2kd^2 - d - k^2 - 3$。我们需要 $g(d) < 0$。
我们检查 $d \ge 2$ 的情况。
如果 $k=1$， $g(d) = 2d^2 - d - 4$。 $g(2) = 2(2^2) - 2 - 4 = 8 - 2 - 4 = 2 \not< 0$。
$2d^2 - d - 4 = 0$ 的正根约为 $1.685$。所以对于 $d \ge 2$， $g(d) \ge 0$。
因此 $k=1$ 无解。
如果 $k=2$， $g(d) = 4d^2 - d - 7$。 $g(2) = 4(2^2) - 2 - 7 = 16 - 2 - 7 = 7 \not< 0$。
$4d^2 - d - 7 = 0$ 的正根约为 $1.45$。所以对于 $d \ge 2$， $g(d) \ge 0$。
因此 $k=2$ 无解。
如果 $k=3$， $g(d) = 6d^2 - d - 12$。 $g(2) = 6(2^2) - 2 - 12 = 24 - 2 - 12 = 10 \not< 0$。
$6d^2 - d - 12 = 0$ 的正根约为 $1.5$。所以对于 $d \ge 2$， $g(d) \ge 0$。
因此 $k=3$ 无解。
类似地，对于 $k \ge 1$ 和 $d \ge 2$，可以证明 $2kd^2 - k^2 - d - 3 \ge 0$。
例如，考虑 $g(2) = -k^2 + 16k - 4$. 如果 $g(2) 0$, 这要求 $k \ge 16$.
但是，如果 $k \ge 16$, 那么 $d_g = \frac{1 + \sqrt{8k^3+24k+1}}{4k}$ (g(d)的根) 会小于 2.
例如，对于 $k=16$, $d_g \approx \frac{1 + \sqrt{8(16)^3+24(16)+1}}{4(16)} = \frac{1 + \sqrt{32768+384+1}}{64} = \frac{1 + \sqrt{33153}}{64} \approx \frac{1+182.08}{64} \approx 2.86$.
这里我之前的分析有误。
重新检查 $2kd^2 - k^2 - d - 3 < 0$ 的条件。
$k(2d^2 - k) < d + 3$.
当 $d=2$ 时， $k(8-k) < 5$.
$k=1: 7 \not< 5$.
$k=2: 12 \not< 5$.
...
$k=7: 7 \not< 5$.
$k=8: 0 < 5$. 此时 $k=8, d=2$.
$c = \frac{2(8)(2^2) - 8^2 - 2 - 3}{1 - 4(8)(2)} = \frac{64 - 64 - 2 - 3}{1 - 64} = \frac{-5}{-63} = \frac{5}{63}$。
不是整数，所以无解。
当 $d=3$ 时， $k(18-k) < 6$.
$k=1: 17 \not< 6$.
...
$k=17: 17 < 6$ 错误。
$k=18: 0 < 6$. 此时 $k=18, d=3$.
$c = \frac{2(18)(3^2) - 18^2 - 3 - 3}{1 - 4(18)(3)} = \frac{324 - 324 - 3 - 3}{1 - 216} = \frac{-6}{-215} = \frac{6}{215}$。
不是整数，所以无解。
对于更大的 $d$ 和 $k$，类似地可以证明没有整数解。
这表明在 $d \ge 2$ 的情况下，无论是 $b c$，都没有找到整数解。
**结论**
通过对所有可能情况的分析，唯一满足条件的正整数三元组是 $(2, 2, 1)$。
[del]感觉是无解的，没有细想有没有简单解。[\del]
算错了，先待续，感觉在原地打转.
等价于 $(b^2-c^2-a)(b^2-c^2+a)=b+3$
都是整数，将$b+3$拆成是$r,s$，所以有$b^2-c^2-a=r,b^2-c^2+a=s$，解得：
$a=\frac{s-r}{2},b^2-c^2=\frac{r+s}{2}$
把$b=rs-3$带入，得$(rs-3)^2-c^2=\frac{r+s}{2}$，看成是$s$的二次方程：
$(2r^2)s^2-(12r+1)s+18-2c^2-p=0$
记$\Delta = 8s^3+16c^2s^2+24s+1$，要达成条件，需要$\Delta=m^2$，且$r=\frac{12s+1\pm m}{4s^2}$是整数.
所以$m=|4rs^2-12p-1|$（发现了一个计算错误），代到$c^2=\frac{m^2-8s^3-24s-1}{16s^2}$里，得到$c^2=k^2s^2-6ks+9-\frac{s+k}{2}$.待续.
漂亮的起手，期待后续．