题拍拍征解问题[3](已解决)

『2560028』求所有的三元正整数组 (a,b,c) 满足 a2+b+3=(b2c2)2

2020年10月11日上午8点53分,louxin2020提供:

根据题意,有(b2c2+a)(b2c2a)=b+3,r=b2c2+as=b2c2a,则{a=rs2,b=rs3,c2=(rs3)2r+s2,由于 a,b,cN,于是 rs2rs4r,s 同奇偶.

情形一    r,s 均为正整数.此时由 c2 为平方数,可得(rs3)2r+s2(rs4)2(4s1)(4r1)57,rs2,于是(4s1)(4s+7)57s=1,进而 r5,而 rs4,从而 r=5,解得 (a,b,c)=(2,2,1)

情形二     r,s 均为负整数.此时由 c2 为平方数,可得(rs3)2r+s2(rs2)22rs+r+s25(4s+1)(4r+1)41,rs4,于是 r+s6,又 rs2,从而 s4,从而(4s+1)(4r+1)(15)(3)=45,矛盾.

综上所述,所有符合题意的三元正整数组 (a,b,c)(2,2,1)


2020年10月11日上午9点10分,康天华和袁旭华共同提供.

由等式右边为完全平方数可知 a2+b+3 是完全平方数,且大于 a2,于是不妨设a2+b+3=(a+k)2=(b+c)2(bc)2,kN,于是 b=2ak+k23

情形一    b>c.设 b=c+nnN,则(a+k)2=n2(b+c)2a+k=n(b+c)=n(2bn),b=2ak+k23 代入上式有a+k=n(2(2ak+k23)n)a=2nk2+k+n2+6n4kn1,设右边为 f(k),则其导函数f(k)=8n2k2+4nk14n324n2(4kn1)2,设分子部分为 g(k),则其导函数g(k)=4n(14k)<0,于是 g(k)kN 上单调递减,进而g(k)g(1)=4n332n2+4n1<0,因此 f(k)kN 上单调递减,且 k=1 时取得最大值,于是对于每一个 na 的最大值为2nk2+k+n2+6n4kn1|n=1=k2+4k+14k1,对应的c=bk=2k2+k+44k1,而当 k2 时,c<0,因此 k=1,从而 (a,b,c)=(2,2,1)

情形二     b<c.同理可得c=b+k=2k2k+44k1,从而b=2k2+44k1,从而当 k2 时,bk<0;当 k=1 时,b=23,无解.

综上所述,符合题意的所有三元正整数组 (a,b,c)=(2,2,1)

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题拍拍征解问题[3](已解决)》有2条回应

  1. 郝酒说:

    [del]感觉是无解的,没有细想有没有简单解。[\del]
    算错了,先待续,感觉在原地打转.
    等价于 (b2c2a)(b2c2+a)=b+3
    都是整数,将b+3拆成是r,s,所以有b2c2a=r,b2c2+a=s,解得:
    a=sr2,b2c2=r+s2
    b=rs3带入,得(rs3)2c2=r+s2,看成是s的二次方程:
    (2r2)s2(12r+1)s+182c2p=0
    Δ=8s3+16c2s2+24s+1,要达成条件,需要Δ=m2,且r=12s+1±m4s2是整数.
    所以m=|4rs212p1|(发现了一个计算错误),代到c2=m28s324s116s2里,得到c2=k2s26ks+9s+k2.待续.

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