『2560028』求所有的三元正整数组 (a,b,c) 满足 a2+b+3=(b2−c2)2．
2020年10月11日上午8点53分，louxin2020提供：
根据题意，有(b2−c2+a)(b2−c2−a)=b+3,
设 r=b2−c2+a，s=b2−c2−a，则{a=r−s2,b=rs−3,c2=(rs−3)2−r+s2,
由于 a,b,c∈N∗，于是 r−s⩾2，rs⩾4 且 r,s 同奇偶．
情形一 r,s 均为正整数．此时由 c2 为平方数，可得(rs−3)2−r+s2⩽(rs−4)2⟺(4s−1)(4r−1)⩽57,
而 r−s⩾2，于是(4s−1)(4s+7)⩽57⟹s=1,
进而 r⩽5，而 rs⩾4，从而 r=5，解得 (a,b,c)=(2,2,1)．
情形二 r,s 均为负整数．此时由 c2 为平方数，可得(rs−3)2−r+s2⩾(rs−2)2⟺2rs+r+s2⩽5⟺(4s+1)(4r+1)⩽41,
又 rs⩾4，于是 r+s⩽−6，又 r−s⩾2，从而 s⩽−4，从而(4s+1)(4r+1)⩾(−15)⋅(−3)=45,
矛盾．
综上所述，所有符合题意的三元正整数组 (a,b,c) 为 (2,2,1)．
2020年10月11日上午9点10分，康天华和袁旭华共同提供．
由等式右边为完全平方数可知 a2+b+3 是完全平方数，且大于 a2，于是不妨设a2+b+3=(a+k)2=(b+c)2(b−c)2,k∈N∗,
于是 b=2ak+k2−3．
情形一 b>c．设 b=c+n，n∈N∗，则(a+k)2=n2(b+c)2⟺a+k=n(b+c)=n(2b−n),
将 b=2ak+k2−3 代入上式有a+k=n(2(2ak+k2−3)−n)⟺a=−2nk2+k+n2+6n4kn−1,
设右边为 f(k)，则其导函数f′(k)=−8n2k2+4nk−1−4n3−24n2(4kn−1)2,
设分子部分为 g(k)，则其导函数g′(k)=4n(1−4k)<0,
于是 g(k) 在 k∈N∗ 上单调递减，进而g(k)⩽g(1)=−4n3−32n2+4n−1<0,
因此 f(k) 在 k∈N∗ 上单调递减，且 k=1 时取得最大值，于是对于每一个 n，a 的最大值为−2nk2+k+n2+6n4kn−1|n=1=k2+4k+14k−1,
对应的c=b−k=−2k2+k+44k−1,
而当 k⩾2 时，c<0，因此 k=1，从而 (a,b,c)=(2,2,1)．
情形二 b<c．同理可得c=b+k=2k2−k+44k−1,
从而b=−2k2+44k−1,
从而当 k⩾2 时，bk<0；当 k=1 时，b=23，无解．
综上所述，符合题意的所有三元正整数组 (a,b,c)=(2,2,1)．
[del]感觉是无解的，没有细想有没有简单解。[\del]
算错了，先待续，感觉在原地打转.
等价于 (b2−c2−a)(b2−c2+a)=b+3
都是整数，将b+3拆成是r,s，所以有b2−c2−a=r,b2−c2+a=s，解得：
a=s−r2,b2−c2=r+s2
把b=rs−3带入，得(rs−3)2−c2=r+s2，看成是s的二次方程：
(2r2)s2−(12r+1)s+18−2c2−p=0
记Δ=8s3+16c2s2+24s+1，要达成条件，需要Δ=m2，且r=12s+1±m4s2是整数.
所以m=|4rs2−12p−1|（发现了一个计算错误），代到c2=m2−8s3−24s−116s2里，得到c2=k2s2−6ks+9−s+k2.待续.
漂亮的起手，期待后续．