题拍拍征解问题[3]（已解决）

『2560028』求所有的三元正整数组 $(a,b,c)$ 满足 $a^2+b+3=(b^2-c^2)^2$．

2020年10月11日上午8点53分，louxin2020提供：

根据题意，有\[(b^2-c^2+a)(b^2-c^2-a)=b+3,\]设 $r=b^2-c^2+a$，$s=b^2-c^2-a$，则\[\begin{cases} a=\dfrac{r-s}2,\\ b=rs-3,\\ c^2=(rs-3)^2-\dfrac{r+s}2,\end{cases}\]由于 $a,b,c\in\mathbb N^{\ast}$，于是 $r-s\geqslant 2$，$rs\geqslant 4$ 且 $r,s$ 同奇偶．

情形一    $r,s$ 均为正整数．此时由 $c^2$ 为平方数，可得\[(rs-3)^2-\dfrac{r+s}2\leqslant (rs-4)^2\iff (4s-1)(4r-1)\leqslant 57,\]而 $r-s\geqslant 2$，于是\[(4s-1)(4s+7)\leqslant 57\implies s=1,\]进而 $r\leqslant 5$，而 $rs\geqslant 4$，从而 $r=5$，解得 $(a,b,c)=(2,2,1)$．

情形二     $r,s$ 均为负整数．此时由 $c^2$ 为平方数，可得\[(rs-3)^2-\dfrac{r+s}2\geqslant (rs-2)^2\iff 2rs+\dfrac{r+s}2\leqslant 5\iff (4s+1)(4r+1)\leqslant 41,\]又 $rs\geqslant 4$，于是 $r+s\leqslant -6$，又 $r-s\geqslant 2$，从而 $s\leqslant -4$，从而\[(4s+1)(4r+1)\geqslant (-15)\cdot (-3)=45,\]矛盾．

综上所述，所有符合题意的三元正整数组 $(a,b,c)$ 为 $(2,2,1)$．

2020年10月11日上午9点10分，康天华和袁旭华共同提供．

由等式右边为完全平方数可知 $a^2+b+3$ 是完全平方数，且大于 $a^2$，于是不妨设\[a^2+b+3=(a+k)^2=(b+c)^2(b-c)^2,\quad k\in\mathbb N^{\ast},\]于是 $b=2ak+k^2-3$．

情形一    $b>c$．设 $b=c+n$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，则\[(a+k)^2=n^2(b+c)^2\iff a+k=n(b+c)=n(2b-n),\]将 $b=2ak+k^2-3$ 代入上式有\[a+k=n\big(2(2ak+k^2-3)-n\big)\iff a=\dfrac{-2nk^2+k+n^2+6n}{4kn-1},\]设右边为 $f(k)$，则其导函数\[f'(k)=\dfrac{-8n^2k^2+4nk-1-4n^3-24n^2}{(4kn-1)^2},\]设分子部分为 $g(k)$，则其导函数\[g'(k)=4n(1-4k)<0,\]于是 $g(k)$ 在 $k\in\mathbb N^{\ast}$ 上单调递减，进而\[g(k)\leqslant g(1)=-4n^3-32n^2+4n-1<0,\]因此 $f(k)$ 在 $k\in\mathbb N^{\ast}$ 上单调递减，且 $k=1$ 时取得最大值，于是对于每一个 $n$，$a$ 的最大值为\[\dfrac{-2nk^2+k+n^2+6n}{4kn-1}\Bigg|_{n=1}=\dfrac{k^2+4k+1}{4k-1},\]对应的\[c=b-k=\dfrac{-2k^2+k+4}{4k-1},\]而当 $k\geqslant 2$ 时，$c<0$，因此 $k=1$，从而 $(a,b,c)=(2,2,1)$．

情形二     $b<c$．同理可得\[c=b+k=\dfrac{2k^2-k+4}{4k-1},\]从而\[b=\dfrac{-2k^2+4}{4k-1},\]从而当 $k\geqslant 2$ 时，$b_k<0$；当 $k=1$ 时，$b=\dfrac 23$，无解．

综上所述，符合题意的所有三元正整数组 $(a,b,c)=(2,2,1)$．