『2560028』求所有的三元正整数组 (a,b,c) 满足 a2+b+3=(b2−c2)2.
2020年10月11日上午8点53分,louxin2020提供:
根据题意,有(b2−c2+a)(b2−c2−a)=b+3,设 r=b2−c2+a,s=b2−c2−a,则{a=r−s2,b=rs−3,c2=(rs−3)2−r+s2,由于 a,b,c∈N∗,于是 r−s⩾2,rs⩾4 且 r,s 同奇偶.
情形一 r,s 均为正整数.此时由 c2 为平方数,可得(rs−3)2−r+s2⩽(rs−4)2⟺(4s−1)(4r−1)⩽57,而 r−s⩾2,于是(4s−1)(4s+7)⩽57⟹s=1,进而 r⩽5,而 rs⩾4,从而 r=5,解得 (a,b,c)=(2,2,1).
情形二 r,s 均为负整数.此时由 c2 为平方数,可得(rs−3)2−r+s2⩾(rs−2)2⟺2rs+r+s2⩽5⟺(4s+1)(4r+1)⩽41,又 rs⩾4,于是 r+s⩽−6,又 r−s⩾2,从而 s⩽−4,从而(4s+1)(4r+1)⩾(−15)⋅(−3)=45,矛盾.
综上所述,所有符合题意的三元正整数组 (a,b,c) 为 (2,2,1).
2020年10月11日上午9点10分,康天华和袁旭华共同提供.
由等式右边为完全平方数可知 a2+b+3 是完全平方数,且大于 a2,于是不妨设a2+b+3=(a+k)2=(b+c)2(b−c)2,k∈N∗,于是 b=2ak+k2−3.
情形一 b>c.设 b=c+n,n∈N∗,则(a+k)2=n2(b+c)2⟺a+k=n(b+c)=n(2b−n),将 b=2ak+k2−3 代入上式有a+k=n(2(2ak+k2−3)−n)⟺a=−2nk2+k+n2+6n4kn−1,设右边为 f(k),则其导函数f′(k)=−8n2k2+4nk−1−4n3−24n2(4kn−1)2,设分子部分为 g(k),则其导函数g′(k)=4n(1−4k)<0,于是 g(k) 在 k∈N∗ 上单调递减,进而g(k)⩽g(1)=−4n3−32n2+4n−1<0,因此 f(k) 在 k∈N∗ 上单调递减,且 k=1 时取得最大值,于是对于每一个 n,a 的最大值为−2nk2+k+n2+6n4kn−1|n=1=k2+4k+14k−1,对应的c=b−k=−2k2+k+44k−1,而当 k⩾2 时,c<0,因此 k=1,从而 (a,b,c)=(2,2,1).
情形二 b<c.同理可得c=b+k=2k2−k+44k−1,从而b=−2k2+44k−1,从而当 k⩾2 时,bk<0;当 k=1 时,b=23,无解.
综上所述,符合题意的所有三元正整数组 (a,b,c)=(2,2,1).
[del]感觉是无解的,没有细想有没有简单解。[\del]
算错了,先待续,感觉在原地打转.
等价于 (b2−c2−a)(b2−c2+a)=b+3
都是整数,将b+3拆成是r,s,所以有b2−c2−a=r,b2−c2+a=s,解得:
a=s−r2,b2−c2=r+s2
把b=rs−3带入,得(rs−3)2−c2=r+s2,看成是s的二次方程:
(2r2)s2−(12r+1)s+18−2c2−p=0
记Δ=8s3+16c2s2+24s+1,要达成条件,需要Δ=m2,且r=12s+1±m4s2是整数.
所以m=|4rs2−12p−1|(发现了一个计算错误),代到c2=m2−8s3−24s−116s2里,得到c2=k2s2−6ks+9−s+k2.待续.
漂亮的起手,期待后续.