问题征解[27]代数不等式（已解决）

《问题征解[27]代数不等式（已解决）》有3条回应

1. real0371说：

   2020年10月27日 下午6:20

   lanqi老师v5！！

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2. real0371说：

   2020年10月21日 下午10:28

   let a_i=\frac{1}{x_i}
   \frac{n}{\Sigma_{i=1}^{n}x_i}=\frac{n}{\Sigma_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\leq
   (\Pi_{i=1}^{n}a_{i})^{\frac{1}{n}}
   by Carlman inequality
   \Sigma_{k=1}^{n} (\Pi_{i=1}^{k}a_{i})^{\frac{1}{k}} \leq e\Sigma_{k=1}^{n} a_{k}
   <4\Sigma_{k=1}^{n} a_{k}=4\Sigma_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}

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   • 意琦行说：

     2020年10月24日 下午9:29

     这是一个已经解决的问题．附上解析．
     根据柯西不等式，有 $$\dfrac {1^2}{x_1}+\dfrac {2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac {n^2}{x_n}\geqslant \dfrac{(1+2+\cdots+n)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n}=\dfrac {n^2(n+1)^2}4\cdot \dfrac{1}{x_1+x_2+\cdots+x_n},$$ 于是 $$\dfrac{n}{x_1+x_2+\cdots+x_n}\leqslant \dfrac{4}{n(n+1)^2}\cdot \left(\dfrac {1^2}{x_1}+\dfrac{2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{n^2}{x_n}\right),$$ 于是 $$\begin{split} LHS&=\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{x_1+x_2+\cdots+x_k}\\ &\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{4}{k(k+1)^2}\left(\dfrac 1{x_1}+\dfrac{2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{k^2}{x_k}\right)\\ &=\sum_{k=1}^n\dfrac{4k^2}{x_k}\left(\sum_{i=k}^n\dfrac{1}{i(i+1)^2}\right)\\ &<\sum_{k=1}^n\dfrac{4k^2}{x_k}\sum_{i=k}^n\left(\dfrac{1}{2i^2}-\dfrac{1}{2(i+1)^2}\right)\\ &=\sum_{k=1}^n\dfrac{4k^2}{x_k}\cdot\left(\dfrac{1}{2k^2}-\dfrac{1}{2(n+1)^2}\right)\\ &<2\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{x_k}\\ &=RHS,\end{split}$$ 因此原命题得证．

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