Math173

已知函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$，使得任取实数 $x, y, z$ 都有\[f(x y)+f(x z)-2 f(x) f(y z) \geqslant \dfrac{1}{2},\]则 $[1 \cdot f(1)]+[2 \cdot f(2)]+\cdots+[2022 \cdot f(2022)]=$ _______．（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）．

继续阅读 →

设 $\triangle A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$，则\[m=\sin A \cos B+\sin B \cos C+\sin C \cos A\]的最大值为_______．

继续阅读 →

若方程 $\log _2\left(k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right)=2 \log _2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ 仅有一个实数解，则满足条件的 $k$ 的最大值等于_______．

继续阅读 →

已知点 $A(2,1)$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上，且该椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为零．

1、求椭圆的标准方程．

2、若 $\cos \angle P A Q=\dfrac{1}{3}$，求 $\triangle P A Q$ 的面积．

继续阅读 →

如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，$O_{1}, O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，$O$ 为球心，$CD,EF$ 分别为底面圆 $O_{1},O_2$ 的一条直径，若球的半径 $r=2$，则（        ）

A．球与圆柱的体积之比为 $2: 3$

B．四面体 $C D E F$ 的体积的取值范围为 $(0,32]$

C．平面 $D E F$ 截得球的截面面积最小值为 $\dfrac{4 \pi}{5}$

D．若 $P$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $|PE|+|PF|$ 的取值范围为 $ \left[2+2 \sqrt{5},4 \sqrt{3}\right]$

继续阅读 →

已知正四棱锥 $O-A B C D$ 的底面边长为 $\sqrt{6}$，高为 $ 3$．以点 $O$ 为球心，$\sqrt{2}$ 为半径的球 $O$ 与过点 $A, B, C, D$ 的球 $O_1$ 相交，相交圆的面积为 $\pi$，则球 $O_1$ 的半径可能为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$

B．$\sqrt{3}$

C．$\sqrt{6}$

D．$\dfrac{\sqrt{97}}{4}$

继续阅读 →

一部电视连续剧共有 $n+1$（$n \geqslant 10$）集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：

① 从看完第一集后的第一天算起，把余下的 $n$ 集电视剧随机分配在 $2 n$ 天内；

② 每天要么不看，要么看完完整的一集；

③ 每天至多看一集． 已知这部电视剧最 精彩的部分在第 $n$ 集，

设该同学观看第一集后的第 $X$ 天观看该集．

1、写出 $X$ 的分布列，并证明：最有可能在第 $(2 n-2)$ 天观看最精彩的第 $n$ 集．

2、求 $E(X)$．

继续阅读 →

函数 $f(x)=\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \ln |x|+b$（$a, b \in \mathbb{R}$），则（       ）

A．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递减

B．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得直线 $y=2 x-1$ 为曲线 $y=f(x)$ 的切线

C．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $b$ 既为 $f(x)$ 的极大值也为 $f(x)$ 的极小值

D．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个零点 $x_1, x_2$，且 $x_1 x_2=1$

继续阅读 →

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，若函数 $f(2 x+1)$ 为奇函数，且 $f(4-x)=f(x)$，$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2023} f(k)=1$，则 $f(0)=$ （        ）

A．$-1$

B．$0$

C．$1$

D．$2$

继续阅读 →

函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}$ 在区间 $[t,+\infty)$（$t \in \mathbb{N}^{*}$）上存在极值，则 $t$ 的最大值为（       ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．$5$

继续阅读 →