已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递淢，对任意 $x \in(0,+\infty)$，均有\[f(x) \cdot f\left(f(x)+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{1}{3},\]记 $g(x)=f(x)+4 x^2$，则函数 $g(x)$ 的最小值是_______．
设 $x,y,z$ 为正实数，满足 $x y z=1$，证明：$\sqrt{1+8 x}+\sqrt{1+8 y}+\sqrt{1+8 z} \geqslant 9$．
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_0=0$，$a_n=\dfrac{1}{2}\left(3 a_{n-1}+\sqrt{5 a_{n-1}^2+4}\right)$（$n \geqslant 1$）．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$，其两两的乘积加 $1$ 的值皆是正整数的平方．
$P$ 是单位正方体内部或表面上的点，满足条件：
① 正方体有一条棱的两个端点到 $P$ 的距离分别是 $\dfrac{8}{15}$ 与 $\dfrac{17}{15}$；
② 正方体中至少有两个顶点到 $P$ 的距离相等．
试求同时满足上述条件的点 $P$ 的个数．
对于正整数 $n$，将其各位数字之和记为 $s(n)$，各位数字之积记为 $p(n)$，若成立 $s(n)+p(n)=n$，就称 $n$ 为巧合数，则所有巧合数的和为_______．
一直线被两直线 $4x+y+6=0$ 与 $3x-5y-6=0$ 截得的线段中点恰好是坐标原点 $O$，求这条直线的方程是_______．
虎年 $2022$ 具有这样的性质：它是 $6$ 的倍数并且其各位数字之和为 $6$，这 种正整数被称为“白虎数”，那么，在前 $ 2022$ 个正整数中，“白虎数”的个数 $n=$ _______．
