已知函数 $f(x)=\dfrac{a}{x}-\ln x$（$a \in \mathbb R$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $x_1, x_2$ 是方程 $f(x)=2$ 的两个实数解，证明：$x_1+x_2>\dfrac{2}{{\rm e}^3}$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{-x-a}{x^2},\]因此当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,-a)$ 上单调递增，在 $(-a,+\infty)$ 上单调递减．
2、根据题意，有 $a<0$ 且\[f(-a)=-1-\ln(-a)>2\implies -a<\dfrac{1}{{\rm e}^3},\]而\[\dfrac{a}{x_1}-\ln x_1=\dfrac{a}{x_2}-\ln x_2=2,\]即\[2x_1+x_1\ln x_1=2x_2+x_2\ln _2=a,\]设 $g(x)=2x+x\ln x$，$0<x_1<\dfrac{1}{{\rm e}^3}<x_2$，则\[g'(x)=3+\ln x,\quad g''(x)=\dfrac 1x,\]从而\[x_1+x_2>\dfrac{2}{{\rm e}^3}\iff x_2>\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x_1\iff g(x_2)>g\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x_1\right)\iff g(x_1)>g\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x_1\right),\]设函数 $h(x)=g(x)-g\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x\right)$，则\[h'(x)=g'(x)+g'\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x\right),\quad h''(x)=g''(x)-g''\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x\right),\]当 $x\in\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^3}\right)$ 时，有 $h''(x)>0$，于是在区间 $x\in\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^3}\right)$ 上，$h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减，于是\[h(x)>h\left(\dfrac{1}{{\rm e}^3}\right)=0,\]命题得证．