已知函数 $f(x)=x^a \ln x-x$．
1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant-1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
3、设 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，证明 $: \ln (n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$．
设函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{k(x-1)}{x+1}$．
1、若 $f(x) \geqslant 0$ 对任意 $x \in[1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
2、已知方程 $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{3 \mathrm{e}}$ 有两个实数解 $x_1, x_2$，求证：$x_1+x_2>6 \mathrm{e}$．
已知 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$（$n\geqslant 2$）满足 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$，设\[M=|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{n-1}-x_n|+|x_n-x_1|.\]
1、若 $n=3$，求证：$M\leqslant 2\sqrt 2$．
2、若 $n=2023$，求 $M$ 的最大值．
如图，已知 $\triangle A B C$ 内接于抛物线 $E: x^2=y$，且边 $A B,A C$ 所在直线都与抛物线 $M: y^2=4 x$ 相切，$F$ 为抛物线 $M$ 的焦点．
1、求证：边 $B C$ 所在直线与抛物线 $M$ 相切．
2、求证：$A, C, B, F$ 四点共圆．
直角三角形 $D E F$ 的三个顶点分别在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B,B C,C A$ 上，且 $\angle D E F=90^{\circ}$，$\angle E D F=30^{\circ}$，求 $\triangle DEF$ 与 $\triangle ABC$ 面积之比的最小值．
设 $z$ 为复数，若方程 $\left|z^2\right|-\left|z^2-9\right|=7$ 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率 $e=$_______．
已知函数 $f(x)=\dfrac{a(x+4)}{\mathrm{e}^x}$，其中 $a \in \mathbb{R}$ 且 $a \neq 0$．
1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若存在实数 $x_0$，使得 $f\left(x_0\right)=x_0$，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的“不动点”．求函数 $f(x)$ 的“不动点”的个数．
3、若关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=f(x)$ 有两个实数解，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-ax-1$（$x \geqslant -1$），且 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$．
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、比较 $\left|x_1-x_2\right|$ 与 $|a-2|$ 的大小．
下列大小关系正确的是（ ）
A．$1.9^2<2^{1.9}$
B．$2^{2.9}<2.9^2$
C．${\log _7} 4<{\log _{12}} 7$
D．${\log _7}4+{\log _{12}} 7<\sqrt{2}$
已知函数 $f(x)=a \ln x-x^2$（$ a \in \mathbb R$）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
3、设 $a>0$，若 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 上的两个不同点，满足 $0<x_1<x_2$，且 $x_3 \in\left(x_1, x_2\right)$，使得曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_3$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，求证：$x_3<\dfrac{x_1+x_2}{2}$．
