已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $100$ 项，满足 $a_1=0$，$a_{100} = 475$，且 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=5$（$k=1,2,3,\cdots,99$），则符合条件的不同数列有_______个．
每日一题[3172]强制抵消
已知函数 $f(x)$ 满足：对任意实数 $x,y$，有 $$ f(x y)+f(y-x) \geqslant f(x+y) , $$ 求证：对于任意实数 $x$，均有 $f(x) \geqslant 0$．
每日一题[3171]引入参数
已知 $0<x, y<\dfrac{\pi}{2}$，则 $f=\dfrac{9}{\sin ^2 x}+\dfrac{1}{\cos x \cos ^2 y \sin ^2 y}$ 的最小值是_______．
每日一题[3170]有序混合
已知 $0<a<b<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，则 $a^a,b^b,a^b,b^a$ 从小到大排列为_______．
每日一题[3168]资源争夺
$n$ 个学生参加一次数学考试，试卷由 $m$ 道题组成，考虑如下的统计结果：设 $\alpha$（$0<\alpha<1$）是一个实数，至少有 $\alpha m$ 道题为难题（一道题是难题是指至少有 $\alpha n$ 个学生未解出此题），且至少有 $\alpha n$ 个学生及格（一个学生及格是指他至少解决了 $\alpha m$ 道题）．试就 $\alpha=\dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{10}$ 确定上述情形是否可能？
每日一题[3167]分段处理
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x \sin x-b x+c$ 的图象与 $x$ 轴相切于原点．
1、求 $b, c$ 的值．
2、若 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．
每日一题[3166]不联立与联立
设 $F$ 是双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$ 的左焦点，经过 $F$ 的直线与 $\Gamma$ 相 交于 $M,N$ 两点．
1、若 $M,N$ 都在双曲线的左支上，求 $\triangle O M N$ 面积的最小值．
2、$x$ 轴上是否存在一点 $P$，使得 $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}$ 为定值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．
每日一题[3165]迭代函数
已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=\lambda a_n^2+2$（$n \in \mathbb{N}^{+}$），若数列 $\left\{a_n\right\}$ 有上界，即存在常数 $M>0$，使得 $a_n \leqslant M$ 对 $n \in \mathbb{N}^{+}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值为_______．
每日一题[3164]三六九等
若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 便得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 $ 2022 $ 个零点，则满足条件的正整数 $n$ 的值有_______个．