每日一题[2968]清君侧

已知函数 $f(x)=x^a \ln x-x$.

1、当 $a=1$ 时,讨论 $f(x)$ 的单调性.

2、当 $x \geqslant 1$ 时,$f(x) \leqslant-1$ 恒成立,求 $a$ 的取值范围.

3、设 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$,证明 $: \ln (n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$.

解析

1、当 $a=1$ 时,函数 $f(x)=x\ln x-x$,其导函数\[f'(x)=\ln x,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,在 $(1,+\infty)$ 上单调递增.

2、根据题意,有 $f(x)\leqslant -1$ 等价于\[\ln x-x^{1-a}+x^{-a}\leqslant 0,\]设不等式左侧为函数 $g(x)$,则 $g(1)=0$,端点分析,其导函数\[g'(x)=x^{-1}-(1-a)x^{-a}-ax^{-a-1}=x^{-a-1}\left(x^a-(1-a)x-a\right),\]设 $h(x)=x^a-(1-a)x-a$,则 $h(1)=0$,其导函数\[h'(x)=ax^{a-1}-(1-a),\]有 $h'(1)=2a-1$,讨论分界点为 $a=\dfrac 12$.

情形一     $a\leqslant \dfrac 12$.此时\[g(x)=\ln x-x^{-a}(x-1)\leqslant \leqslant \ln x-\left(\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)\leqslant 0,\]符合题意.

情形二     $a>\dfrac 12$.此时设区间\[D=\begin{cases} (1,+\infty),&a\geqslant 1,\\ \left(1,\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^{\frac{1}{1-a}}\right),&\dfrac 12<a<1.\end{cases}\]则在区间 $D$ 上,$h'(x)>0$,从而 $h(x)$ 单调递增,$h(x)>0$,进而 $g(x)$ 单调递增,$g(x)>0$,不符合题意.

综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$.

3、根据题意,有\[\begin{split} LHS&=\sum_{k=1}^{n}\ln\dfrac{k+1}{k}\\ &=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\dfrac 1k\right)\\ &<\dfrac 12\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{k+1}{k}-\dfrac{k}{k+1}\right)\\ &=\dfrac 12\sum_{k=1}^n\left(\dfrac 1k+\dfrac{1}{k+1}\right)\\ &=\dfrac 12+\sum_{k=2}^n\dfrac 1k+\dfrac{1}{2(n+1)}\\ &=\sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\dfrac{n}{2(n+1)},\end{split}\]命题得证.

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