已知椭圆 $C: ~\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{2}$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、我们称圆心在椭圆 $C$ 上运动，半径为 $\dfrac{a}{2}$ 的圆是椭圆 $C$ 的“卫星圆”，过原点 $O$ 作椭圆 $C$ 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若直线 $O A, O B$ 的斜率存在，记为 $k_{1}, k_{2}$．
① 求证：$k_{1} k_{2}$ 为定值；
② 试问 $|O A|^{2}+|O B|^{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期 $T_1$ 和 $ T_2$．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在 $T_1$ 时期内生孩 $X$ 人，在 $T_2$ 时期生孩 $Y$ 人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．$X$ 服从 $ 0-1$ 分布且 $P(X=0)=\dfrac{1}{5} $．$ Y$ 分布列如下图： \[\begin{array}{c|c|c|c} \hline Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & p & p+q & p-q \\ \hline \end{array}\] 现已知一个家庭在 $T_1$ 时期没生孩子，则在 $T_2$ 时期生 $ 2 $ 个孩子概率为 $\dfrac{1}{24}$；若在 $T_1$ 时期生了 $ 1$ 个女孩，则在 $T_2$ 时期生 $2 $ 个孩子概率为 $\dfrac{1}{6}$；若在 $T_1$ 时期生了 $1 $ 个男孩，则在 $T_2$ 时期生 $2 $ 个孩子概率为 $\dfrac{1}{12}$，样本点中 $T_1$ 时期生孩人数与 $T_2$ 时期生孩人数之比为 $2: 5$（针对普遍家庭）．
1、求 $Y$ 的期望与方差．
2、由数据 $z_{i}$（$i=1,2, \cdots, n$）组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为 $a: b$，分别为 $x_{i}$（$i=1,2, \cdots, k$）与 $y_{i}$（$i=1,2, \cdots, m$，$k+m=n$，总体样本点与两个分层样本点均值分别为 $\overline{z}, \overline{x}, \overline{y}$，方差分别为 $S_{0}^{2}, S_{1}^{2}, S_{2}^{2}$，证明：\[S_{0}^{2}=\frac{a}{a+b}\left(S_{1}^{2}+(\overline{x}-\overline{z})^{2}\right)+\frac{b}{a+b}\left(S_{2}^{2}+(\overline{y}-\overline{z})^{2}\right),\]并利用该公式估算题设样本总体的方差．
如图，圆锥 $V A B$ 内有一个内切球 $O$，球 $O$ 与母线 $V A, V B$ 分别切于点 $C, D$．若 $\triangle V A B$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$O_{1}$ 为圆锥底面圆的中心，$M N$ 为圆 $O_{1}$ 的一条直径 $(M N$ 与 $A B$ 不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为 $2: 3$
B．平面 $C M N$ 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体 $C D M N$ 的体积的取值范围是 $\left(0, \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$
D．若 $P$ 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 $|PM|+|PN|$ 最大值为 $2 \sqrt{2}$
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．记命题 $p$：“数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列”，命题 $q$：“$S_{n},S_{2 n}-S_{n}, S_{3 n}-S_{2 n}$ 成等比数列”，则 $p$ 是 $q$ 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac mx-3$ 有两个零点．
1、求 $m$ 的取值范围．
2、设 $a,b$ 为 $f(x)$ 的两个零点，证明：$ab<m{\rm e}^2$．
已知\[(n+1)^{\alpha+1}-n^{\alpha+1}<n^\alpha(\alpha+1)<n^{\alpha+1}-(n-1)^{\alpha+1},\quad -1<\alpha<0,\]设 $x=\displaystyle\sum_{k=4}^{10^6} \frac{1}{\sqrt[3]{k}}$，则 $x$ 的整数部分为_______．
设 $n$ 为正整数，若 $n^m \geqslant m^n$ 对所有正整数 $m$ 都成立，则 $n=$ _______．
若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”．“完美长方体”的体积的最大值为_______．
设 $x_0>0$，$x_0 \neq \sqrt{3}$，$ Q\left(x_0, 0\right)$，$P(0,4)$，直线 $P Q$ 与双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 相交于 $A,B$ 两点．若 $\overrightarrow{P Q}=t \overrightarrow{Q A}=(2-t) \overrightarrow{Q B}$，则 $x_0=$______．
