Math173

已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $M$ 项，其中 $M$ 为大于 $5$ 的正整数，若对任意不小于 $M$ 的正整数 $k$，都有 $a_k+a_{M+1-k}=0$，且当 $n\leqslant \dfrac M2$ 时，$a_n=\dfrac{1}{2^n}$．记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．是否对于任何小于 $M$ 的正整数 $p,q$，都存在正整数 $i,j$，使得 $a_i+a_j=S_p-S_q$？

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已知函数 $f(x)=\dfrac a2\ln (x+1)-\sqrt{x+2}$，其中 $a\in\mathbb R$．

1、当 $a=\dfrac 83$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\leqslant \dfrac 3a(\sin x+\cos x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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若数列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 满足 $a_1+a_4=a_2+a_3$，则称此数列为“准等差数列”．现从 $1,2, \cdots, 9,10$ 这 $10$ 个数中随机选取 $4$ 个不同的数，则这 $4$ 个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是_______．

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平面内有四条平行线，相邻两条间距为 $1$，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是_______．

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已知动圆 $N$ 经过点 $A(-6,0)$ 及原点 $O$，点 $P$ 是圆 $N$ 与圆 $M: x^2+(y-4)^2=4$ 的一个公共点，则当 $\angle O P A$ 最小时，圆 $N$ 的半径为_______．

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已知函数 $f(x)=|\ln x|+ax+\dfrac ax$（$a>0$），则函数 $f(x)$ 的最小值为_______；若关于 $x$ 的方程 ${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-\left|\dfrac{\ln a-\ln x}{a}\right|-\dfrac ax=0$ 有且仅有一个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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已知 $a=\mathrm{e}^{0.1}$，$b=\sqrt[3]{1.3}$，$c=1.05^2$，则（       ）

A．$a>b>c$

B．$c>b>a$

C．$b>c>a$

D．$a>c>b$

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已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$，对于给定集合 $A$，若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，当 $x_1-x_2 \in A$ 时都有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \in A$，则称 $f(x)$ 是“$A$ 封闭”函数．则下列命题正确的是（       ）

A．$f(x)=x^2$ 是“$[-1,1]$ 封闭”函数

B．定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 都是“$\{0\}$ 封闭”函数

C．若 $f(x)$ 是“$\{1\}$ 封闭”函数，则 $f(x)$ 一定是“$\{k\}$ 封闭”函数 $\left(k \in \mathbb{N}^{\ast}\right)$

D．若 $f(x)$ 是“$[a, b]$ 封闭”函数（$a, b \in \mathbb{N}^{\ast}$），则 $f(x)$ 是“$\{a b\}$ 封闭”函数

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已知函数 $f(x)=4x^4-6tx^3+(2t^2+6)x^2-3tx+1$（$x>0$），若 $f(x)$ 的最小值为 $0$，则 $t=$ （        ）

A．$\sqrt{2}$

B．$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

C．$\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$

D．$2\sqrt{2}$

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已知函数 $f(x)=|x+a|+|x^2+b|$，$x\in [0,1]$，设 $f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，若 $M(a,b)$ 的最小值为 $1$，则 $a$ 的值可以是（       ）

A．$\dfrac{1-\sqrt 3}2$

B．$0$

C．$\dfrac{\sqrt 3-1}2$

D．$1$

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