如图：一张 $3 \times 3$ 的棋盘，横行编号 $1,2,3$；竖排编号 $a, b, c$，一颗棋子目前位于棋盘的 $c1$ 处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中，例如该棋子第一次移动可以从 $(c, 1)$ 移动到 $(a, 2)$ 或 $(b, 3)$，棋子每次移动到不同目的地间的概率均为 $\dfrac{1}{2}$．
1、① 列举两次移动后，该棋子所有可能的位置；
② 假设棋子两次移动后，最终停留到第 $1,2,3$ 行时，分别能获得 $1,2,3$ 分，设得分为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望；
2、现在于棋盘 $a3$ 处加入一颗棋子，它们运动规则相同，并且每次移动同时行动，求移动 $n$ 次后，两棋子位于同一格的概率．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，且经过点 $M(-2,0)$，$F_1, F_2$ 为椭圆 $C$ 的左、右焦点．$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是椭圆上两点，直线 $AF_1,BF_2$ 相交于点 $Q(x_0,y_0)$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、① 若 $A F_2\parallel B F_1$，证明：$\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}=\dfrac{1}{y_0}$；
② 若 $\left|Q F_1\right|+\left|Q F_2\right|=3$，探究 $y_0, y_1, y_2$ 之间的关系．
在 $\triangle A B E$ 中，$B E=3$，$ \angle B A C=\angle E A D$，$\dfrac{B C \cdot B D}{D E \cdot E C}=\dfrac{1}{4}$，当 $\angle A E B$ 取最大值时，$\triangle A B E$ 的面积为_____．
已知平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $|\boldsymbol{a}-x \boldsymbol{b}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol b|$，$|\boldsymbol{a}-y \boldsymbol{c}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|$ 成立，若 $|\boldsymbol{a}|=2$，则 $\boldsymbol{b} \cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$ 的取值范围是_____．
已知 $f(x)=a x^3+b x+c$（$x\in [0,1]$）满足 $f(x)\in [0,1]$，则 $b$ 的最大值是_____．
已知实数 $a, b, c, d$ 满足 $a \geqslant b \geqslant d>0$ 及 $a+b-3 c-3 d \leqslant 0$，则 $\dfrac{b d+a c}{a b}$ 的最小值为_____．
设 $\max \{a, b, c\}$ 为实数 $a, b, c$ 中的最大的数，若 $x,y,z>0$，则 $\max \left\{x z+\dfrac{1}{y}, x+\dfrac{1}{y z}, \dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{z}\right\}$ 的最小值为_____．
已知 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+d$（$x \in[0,1]$）且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$，则 $a$ 的最小值为_____．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，离心率为 $ e$，点 $P$ 在椭圆上，连接 $P F_1$ 并延长交 $C$ 于另一点 $Q$，连接 $Q F_2$，若存在点 $P$ 使 $|P Q|=\left|Q F_2\right|$ 成立，则 $e^2$ 的取值范围为_____．
已知 $O$ 为坐标原点，$A, B, C$ 为椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上三点，且 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A C}=0$，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$，若 $4 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O D}^2$，则 $E$ 的离心率 $e$ 为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D．$\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$
