已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$,$f(x+1)$ 为奇函数,$f(x+2)$ 为偶函数.记函数 $g(x)=2 f(2 x+1)+1$,则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{31} g\left(\dfrac{{k}}{2}\right)=$ ( )
A.$25$
B.$27$
C.$29$
D.$31$
答案 D.
解析 根据题意,有\[\begin{cases} f(x+1)+f(-x+1)=0,\\ f(x+2)=f(-x+2),\end{cases}\]因此自变量和为 $2$ 时函数值互为相反数;自变量和为 $4$ 时函数值相等,进而函数 $f(x)$ 有周期为 $4$,且\[f(1)=f(3)=0,\quad f(0)+f(2)=0,\]所以\[\begin{split} \sum\limits_{k=1}^{31} g\left(\dfrac{{k}}{2}\right)&=\sum\limits_{k=1}^{31} \left(2f(k+1)+1\right)\\ &=31+2\sum_{k=2}^{32}f(k)\\ &=31+2\cdot \left((f(0)+f(1)+f(2)+f(3))\cdot 8-f(1)\right)\\ &=31.\end{split}\]
yyds,为什么每日一题3059看不到?谢谢!