已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，且 $E$ 的短轴长为 $2$．$A,B,C,D$ 是 $E$ 上不同的四点．
1、求 $E$ 的方程；
2、若点 $A$ 在 $x$ 轴上方，且 $3\overrightarrow{F_2 A}+\overrightarrow{F_2 B}=0$，求直线 $AB$ 的斜率；
3、若 $C,D$ 都在 $x$ 轴上方，且 $CF_2 \parallel DF_1$，求四边形 $CF_2 F_1 D$ 面积的最大值．
已知 $\triangle ABC$ 中．角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $a-c\cos 2 B=c+2 b\cos C\cos B$．
1、求 $B$ 的大小；
2、若 $a+c=6$，$b=\sqrt 3 a$，求 $\triangle ABC$ 外接圆的半径；
3、若点 $M$ 在线段 $AC$ 上．$\angle ABM=\angle CBM$，$BM=4$，求 $4 a+c$ 的最小值．
甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为 $p_1$（$0<p_1<1$），乙赢的概率为 $p_2$，且 $p_1+p_2=1$．规定，比赛中先赢三局者获胜，比赛结束．若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了 $X$ 局，则 $X$ 的数学期望的最大值为_____．
在平面内，曲线 $C$ 是动点 $P(x,y)$ 到定点 $A(-2,0)$，$B(2,0)$ 距离之积为常数 $k$（$k>0$）的点的轨迹．巳知 $C$ 过原点 $O$，则（ ）
A．$k=4$
B．$C$ 关于直线 $y=x$ 对称
C．$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $2$
D．$|OP|\leqslant 2\sqrt 2$
已知函数 $f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$0<\varphi<\pi$），若 $f(x)$ 及其导函数 $f'(x)$ 的部分图象如图所示，则[[nn]]
A．$\varphi=\dfrac{\pi}3$
B．函数 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right)$ 上单调递增
C．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\dfrac{\pi}6$ 对称
D．$f(x)+f^{\prime}(x)$ 的最大值为 $3$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若函數 $f(x)$ 满足条件：存在 $[a,b]\subseteq D$，使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值为 $\dfrac a n$，最大值为 $\dfrac b n$，其中 $n$ 为正整数，则称 $f(x)$ 为 $n$ 倍缩函数．若函数 $f(x)=\log_4\left(2^x+t\right)$ 为 $4$ 倍缩函数，则实数 $t$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,\dfrac 1 4\right]$
B．$\left(0,\dfrac 1 4\right)$
C．$\left(-\infty,\dfrac 1 4\right]$
D．$\left(-\infty,\dfrac 14\right)$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}^2=2-\dfrac 2{a_n+1}$．
1、若 $a_3=a_4$，求 $a_7$；
2、若 $a_1=\sqrt 2$，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
3、记 $S_n$ 为数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_2^2=\dfrac{\sqrt 3}2+1$，证明：$\dfrac 1 2\leqslant n-S_n<\dfrac 3 4$．
已知函数 $f(x)=x^3-3 x^2-x+3$．
1、求 $\displaystyle\sum_{i=1}^7 f\left(\dfrac i 4\right)$；
2、若曲线 $y=f(x)+a\ln x$（$x\in(3,4)$）存在两条相互垂直的切线，求 $a$ 的取值范围；
3、设 $y$ 轴右侧有一点 $M$，若当且仅当过点 $M$ 恰好能作曲线 $y=f(x)$ 的 $3$ 条切线，求点 $M$ 的集合．
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB\perp AD$，$\angle ADC=4\angle ACD=120^{\circ}$，$CD=2$，$\triangle ABC$ 的面积为 $3\sqrt 3$，将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折至 $\triangle PBD$，其中 $P$ 为动点．
1、证明：三棱锥 $P-BCD$ 外接球的体积为定值；
2、当点 $C$ 到平面 $PBD$ 的距离为 $\dfrac{2\sqrt 6}3$，求直线 $PB$ 与直线 $CD$ 所成角的余弦值．
在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD$ 平分 $\angle BAC$，设 $AB=m AC$，$AD=n AC$．
1、若 $\dfrac m n=2$，$\angle DAC+\angle BAC=\pi$，证明：$AB=AC$；
2、若 $m=3$，求 $n$ 的取值范围．
