Math173

已知有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），将数列 $\left\{a_n\right\}$ 中各项重新排列构成新数列 $\left\{b_n\right\}$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的重排数列，若数列 $\left\{b_n\right\}$ 各项均满足 $b_n \neq a_n$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列，记项数为 $n$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列的个数为 $D_n$．

1、计算 $D_2, D_3, D_4$；

2、写出 $D_{n+1}$ 和 $D_n, D_{n-1}$（$n \geqslant 2$）之间的递推关系，并证明：数列 $\left\{D_n-n D_{n-1}\right\}$（$n \geqslant 2$）是等比数列；

3、若从数列 $\left\{a_n\right\}$ 及其所有重排数列中随机选取一个数列 $\left\{c_n\right\}$，记数列 $\left\{c_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的 完全重排数列的概率为 $P_n$，证明：当 $n$ 无穷大时，$P_n$ 趋近于 $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$． 参考公式：\[ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots.\]

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 一共有 $m^2$（$m>2$）项，$a_1, a_2, \cdots, a_m$ 成公差不为 $ 0 $ 的等差数列，对任意的 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，$a_i, a_{i+m}, \cdots, a_{i+(m-1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$，其公差为同一个非零常数．

1、若 $m=3$，$ a_1=1$，$a_4=3$，$a_9=9$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项之和；

2、证明：$a_1, a_{(m+1)+1}, a_{2(m+1)+1}, \cdots, a_{(m-1)(m+1)+1}$ 成等差数列；

3、从 $1,2, \cdots, m^2$ 中任取三个数 $p, q, r$（$p<q<r$），记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_p, a_q, a_r$ 也成等差数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac{3 m-6}{4 m^3-8 m}$．

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已知函数 $f(x)=(x-a)|x-b|+c$，$ x \in\mathbb R$．

1、当 $a=1$，$b=0$ 时，方程 $f(x)=0$ 有两个实数解，求 $c$ 的取值范围；

2、若 $a=0$ 且对任意 $x \in[0,1]$，不等式 $f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求 $b+2 c$ 的最大值．

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已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 对于 $m \in\mathbb N^{\ast}$，若 $\left\{a_n\right\}$ 同时满足以下三个条件，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$．

条件 ①：$a_n>0$（$n=1,2, \cdots$）；

条件 ②：存在常数 $T>0$，使得 $a_n \leqslant T$（$n=1,2, \cdots$）；

条件 ③：$a_n+a_{n+1}=m a_{n+2}$（$n=1,2, \cdots$）．

1、若 $a_n=5+4 \cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$（$n=1,2, \cdots$），且数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，直接写出 $m$ 的值和一个 $T$ 的值；

2、是否存在具有性质 $P(1)$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$？若存在，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式：若不存在，说明理由；

3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，且各项均为正整数，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

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已知集合 $M=\left\{\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n\right\}$，$n \in \mathbb N^{\ast}$，设函数\[ f_n(x)=\sin ^2\left(x-\theta_1\right)+\sin ^2\left(x-\theta_2\right)+\cdots+\sin ^2\left(x-\theta_n\right).\]

1、当 $M=\left\{0, \dfrac{\pi}{2}\right\}$ 和 $\left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right\}$ 时，分别判断函数 $f_2(x)$ 是否是常数函数？说明理由；

2、已知 $M \subseteq\left\{\theta \mid \theta=\dfrac{k \pi}{12}, k \in \mathbb N, k \leqslant 12\right\}$，求函数 $f_3(x)$ 是常函数的概率；

3、写出函数 $f_n(x)$（$n \geqslant 2$）是常函数的一个充分条件，并说明理由．

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已知椭圆 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P(0, \sqrt{3})$，$A_1, A_2$ 为 $\Gamma$ 的左、右顶点，且直线 $P A_1, P A_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac{3}{4}$，动点 $Q(m, n)$ 在 $\Gamma$ 上，其中 $m<0$，$n>0$，直线 $l: 3 m x+4 n y=0$ 与 $\Gamma$ 在第一象限的交点为 $R$，点 $T$ 在线段 $O R$ 上（$O$ 为坐标原点），且 $|Q T|=2$． 

1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程；

2、直线 $Q T$ 过定点 $S$，并求出定点 $S$ 的坐标．

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已知曲线 $\Gamma$ 上的点到定点 $F_2(\sqrt{3}, 0)$ 的距离与其到直线 $x=2 \sqrt{3}$ 的距离之比为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$F_1(-\sqrt{3}, 0)$，动点 $P$ 满足 $\angle F_1 P F_2=\dfrac{\pi}{3}$，过 $P$ 作曲线 $\Gamma$ 的两条切线，切点分别为 $M, N$，记 $\triangle P M N, \triangle P F_1 F_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$．

1、求曲线 $\Gamma$ 的方程；

2、求 $P$ 的横坐标取值范围；

3、求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的取值范围．

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求所有的正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：对任意的 $n \geqslant 3$，都有\[ \frac{1}{a_1 a_3}+\frac{1}{a_2 a_4}+\cdots+\frac{1}{a_{n-2} a_n}+\frac{1}{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2}=1.\]

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是斐波那契数列 $\{1,1,2,3,5,8,13,21,34, \cdots\}$，这一数列以如下递推的方法定义：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），数列 $\left\{b_n\right\}$ 对于确定的正整数 $k$，若存在正整数 $n$，使得 $b_{k+n}=b_k+b_n$ 成立，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 为 $k$ 阶可拆分数列．

1、已知数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_n=m a_n$（$n \in\mathbb N^{\ast}$，$m \in\mathbb R$），判断是否对任意 $m\in\mathbb R$，总存在确定的正整数 $k$，使得数列 $\left\{c_n\right\}$ 为 $k$ 阶可分拆数列，并说明理由；

2、设数列 $\left\{d_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=3^n-a$（$a \geqslant 0$）．

① 若数列 $\left\{d_n\right\}$ 为 $1$ 阶可分拆数列，求出符合条件的实数 $a$ 的值；

② 在 ① 的前提下，若数列 $\left\{f_n\right\}$ 满足 $f_n=\dfrac{a_n}{S_n}$，其前 $n$ 项和为 $T_n$，求证：当 $n \in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n \geqslant 3$ 时，有\[ T_n<a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2-a_n a_{n+1}+1.\]

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已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右顶点 $A(1,0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$．

1、求双曲线 $C$ 的方程；

2、设过点 $B(1,1)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $A Q$ 交于点 $R$，证明：以线段 $P R$ 的中点 $M$ 为圆心且过坐标原点的圆还过其它定点 $T$．

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