已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x-1)=f(x)+f(x-2)$，且 $f(35)>f(25)$，$f(30)>f(10)$，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．$f(20)>100$
B．$f(20)<1000$
C．$f(30)>1000$
D．$f(30)<10000$
每日一题[3291]联立与韦达
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，直线 $l: m y=x+3 m-2$ 恒过定点 $P$，且与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|PA|<|PB|$，则 $\dfrac{|PA|}{|PB|}$ 的取值范围为（ ）
A．$[1,2)$
B．$\left[\dfrac 1 3,\dfrac 1 2\right]$
C．$\left[\dfrac 1 2,\dfrac 4 5\right)$
D．$\left[\dfrac 1 3,1\right)$
每日一题[3290]恰如其分
已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi)+B$ 的定义域为 $\mathbb R$，且满足 $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(\pi)$ 恒成立，若 $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}2\right)<0$，则 $\omega$ 的值可能是（ ）
A．$6$
B．$7$
C．$8$
D．$9$
每日一题[3289]方程与系数
设集合 $M=\{x\mid x=2 n-1,n\in\mathbb Z\}$，若 $a,b,c\in M$，$d,e\in\mathbb R$，且 $3 d+e=\dfrac b a$，$d e=\dfrac c a$，则（ ）
A．$b^2<12 a c$
B．$\exists d\in\mathbb R,e=0$
C．$b\leqslant a c$
D．$\forall d\in\mathbb Z,e\notin\mathbb Z$
每日一题[3288]换元与消元
已知 $\tan\alpha\cdot\tan (\alpha+\beta)=1$，$\tan (3\alpha+2\beta)=m$，则 $\tan (\alpha+\beta)=$ （ ）
A．$-\dfrac 1 m$
B．$-m$
C．$m$
D．$3\sqrt 3 m^2$
每日一题[3287]三仙归洞
已知拋物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$），过点 $P(2,1)$ 作斜率为 $k_1, k_2$ 的直线 $l_1, l_2$，分别交抛物线于 $A, B$ 与 $M, N$，当 $k_1=2$ 时，$P$ 为 $A B$ 的中点．
1、求抛物线 $C$ 的方程；
2、若 $|P M| \cdot|P N|=|P A| \cdot|P B|$，证明：$k_1+k_2=0$；
3、若直线 $A M$ 过点 $Q(-2,0)$，证明：直线 $B M$ 过定点，并求出该定点坐标．
每日一题[3286]和差与公约数
对于非负整数非空集合 $S$，若对任意 $x, y \in S$，或者 $x+y \in S$，或者 $|x-y| \in S$，则称 $S$ 为一个好集合，记 $|S|$ 为集合 $S$ 的元素个数．
1、求所有的元素均小于 $ 3$ 的好集合；
2、求所有满足 $|S|=4$ 的好集合；
3、若好集合 $S$ 满足 $|S|$ 为奇数，求证：$S$ 中存在元素 $m$，使得 $S$ 中所有元素均为 $m$ 的整数倍．
每日一题[3285]欧拉错排
已知有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），将数列 $\left\{a_n\right\}$ 中各项重新排列构成新数列 $\left\{b_n\right\}$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的重排数列，若数列 $\left\{b_n\right\}$ 各项均满足 $b_n \neq a_n$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列，记项数为 $n$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列的个数为 $D_n$．
1、计算 $D_2, D_3, D_4$；
2、写出 $D_{n+1}$ 和 $D_n, D_{n-1}$（$n \geqslant 2$）之间的递推关系，并证明：数列 $\left\{D_n-n D_{n-1}\right\}$（$n \geqslant 2$）是等比数列；
3、若从数列 $\left\{a_n\right\}$ 及其所有重排数列中随机选取一个数列 $\left\{c_n\right\}$，记数列 $\left\{c_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的 完全重排数列的概率为 $P_n$，证明：当 $n$ 无穷大时，$P_n$ 趋近于 $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$． 参考公式：\[ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots.\]
每日一题[3284]三列格与等差列
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 一共有 $m^2$（$m>2$）项，$a_1, a_2, \cdots, a_m$ 成公差不为 $ 0 $ 的等差数列，对任意的 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，$a_i, a_{i+m}, \cdots, a_{i+(m-1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$，其公差为同一个非零常数．
1、若 $m=3$，$ a_1=1$，$a_4=3$，$a_9=9$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项之和；
2、证明：$a_1, a_{(m+1)+1}, a_{2(m+1)+1}, \cdots, a_{(m-1)(m+1)+1}$ 成等差数列；
3、从 $1,2, \cdots, m^2$ 中任取三个数 $p, q, r$（$p<q<r$），记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_p, a_q, a_r$ 也成等差数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac{3 m-6}{4 m^3-8 m}$．
每日一题[3283]规划与最值
已知函数 $f(x)=(x-a)|x-b|+c$，$ x \in\mathbb R$．
1、当 $a=1$，$b=0$ 时，方程 $f(x)=0$ 有两个实数解，求 $c$ 的取值范围；
2、若 $a=0$ 且对任意 $x \in[0,1]$，不等式 $f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求 $b+2 c$ 的最大值．