已知椭圆 $C: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
1、求 $C$ 的方程．
2、过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．
设 $a \in(0,1)$，若函数 $f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是_______．
已知圆 $O$ 的半径为 $ 1$，直线 $P A$ 与圆 $O$ 相切于点 $A$，直线 $P B$ 与 圆 $O$ 交于 $B, C$ 两点，$D$ 为 $B C$ 的中点，若 $|P O|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD}$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$
B．$\dfrac{1+2 \sqrt{2}}{2}$
C．$1+\sqrt{2}$
D．$2+\sqrt{2}$
已知函数 $f(x)=a x-\dfrac{\sin x}{\cos ^{2} x}$，$ x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$． 当 $a=1$ 时，
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)+\sin x<0$，求 $a$ 的取值范围．
已知 $f(x)=a x-\dfrac{\sin x}{\cos ^{3} x}, ~x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$．
1、若 $a=8$，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
设抛物线 $C: y^{2}=2 p x$（$p>0$），直线 $x-2 y+1=0$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$．
1、求 $p$．
2、设 $C$ 的焦点为 $F$，$M, N$ 为 $C$ 上两点，$\overrightarrow{MF} \cdot \overrightarrow{NF}=0$，求 $\triangle MNF$ 面积的最小值．
在 $A B C$ 中，$A B=2$，$ \angle B A C=60^{\circ}$，$ B C=\sqrt{6}$，$D$ 为 $B C$ 上一点，$A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线，则 $A D=$ _______．
己知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{6}=1$，$F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点，$\cos \angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{3}{5}$，则 $|P O|=$ （ ）
A．$\dfrac{2}{5}$
B．$\dfrac{\sqrt{30}}{2}$
C．$\dfrac{3}{5}$
D．$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
解答：
1、证明：当 $0<x<1$ 时，$x-x^2<\sin x<x$．
2、已知函数 $f(x)=\cos ax-\ln\left(1-x^2\right)$，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $\left(-2\sqrt 5,0\right)$，离心率为 $\sqrt 5$．
1、求 $C$ 的方程．
2、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M,N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于点 $P$，证明：点 $P$ 在定直线上．
