每日一题[3087]端点分析

设 $a \in(0,1)$，若函数 $f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,1\right)$.

解析    函数 $f(x)$ 的导函数为\[f'(x)=a^x\ln a+(1+a)^x\ln (1+a)=a^x\left(\ln a+\left(\dfrac 1a+1\right)^x\ln(1+a)\right),\]根据题意，有对任意 $x>0$，均有 $f'(x)\geqslant 0$，而 $f'(x)$ 是单调递增函数，因此\[f'(0)\geqslant 0\iff \ln a+\ln (1+a)>0\iff a(1+a)>1\iff \dfrac{\sqrt 5-1}2\leqslant a<1,\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,1\right)$．