已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}3=1$ 的左顶点为 $A$，过点 $B(1,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，记 $\triangle APQ$ 的外接圆为圆 $N$．
1、当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求圆 $N$ 的方程；
2、求圆 $N$ 面积的最大值．
每日一题[3324]引参求值
已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为 $\alpha$，则当圆锥的内切球体积最大时，$\alpha=$ _____．
每日一题[3323]三次函数
已知函数 $f(x)=(x-a)\left(x^2-b\right)$，其中 $a>0$，且当 $x>0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，则（ ）
A．$b=a^2$
B．$x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值点
C．若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有 $3$ 个不同的实数根，则 $a>\dfrac{3\sqrt 6}8$
D．若对任意 $x$ 都有 $f(x)\leqslant f(x+m)$，则 $m\geqslant\dfrac{4\sqrt 3 a}3$
每日一题[3322]不可分多项式
记 $\left\{a_i\right\}_n=\left\{a_0,a_1,\cdots,a_i,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 1$）为各项均为整数且最后一项不为 $0$ 的 $n+1$ 项数列，其对应的多项式函数记为\[G_{\left\{a_i\right\}_n}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n.\]
定义一 若存在整数 $t$ 使得 $G_{\{b_i\}_n}(x)=G_{\{a_i\}_n}(x+t)$，则记 $\left\{b_i\right\}_n=T_t\left\{a_i\right\}_n$．
定义二 若存在 $\left\{b_i\right\}_m$ 和 $\left\{c_i\right\}_k$，使得 $G_{\{a_i\}_n}(x)=G_{\left\{b_i\right\}_m}(x) G_{\left\{c_i\right\}_k}(x)$，则称 $\left\{a_i\right\}_n$ 是可约的．
定义三 对于 $\left\{a_i\right\}_n$，若存在质数 $p$，使得 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}$ 均是 $p$ 的倍数，$a_n$ 不是 $p$ 的倍数，$a_{n-1}$ 不是 $p^2$ 的倍数，则称 $\left\{a_i\right\}_n$ 是 $p$ 不可分的．
1、设 $\left\{a_i\right\}_3=\{2,3,0,1\}$，证明：$T_1\left\{a_i\right\}_3$ 是 $3$ 不可分的；
2、已知：若 $\left\{a_i\right\}_3=\left\{a_0,a_1,a_2,a_3\right\}$ 是 $p$ 不可分的，则 $\left\{a_i\right\}_3$ 不是可约的．证明：$\left\{a_i\right\}_3=\{2,3,0,1\}$ 不是可约的；
3、若 $\left\{a_i\right\}_n=\{121,11,0,\cdots,0,3\}$（其他末写出的各项都是 $0$）．证明：$T_t\left\{a_i\right\}_n$ 不是 $p$ 不可分的．
每日一题[3321]面积坐标公式
已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $\Gamma:~ y^2=2 p x$（$p>0$），点 $B,C$ 在 $\Gamma$ 上．当 $\triangle OBC$ 为等边三角形时，其重心为 $(4,0)$．
1、求 $\Gamma$ 的方程；
2、已知点 $P(2,2)$，直线 $PB,PC$ 是圆 $D:(x-2)^2+y^2=\dfrac 45$ 的两条切线，求 $\triangle PBC$ 的面积．
每日一题[3320]解耦合
称集合 $X$ 为 $Q$ 集合，如果 $X$ 满足如下三个条件：
条件一：$X$ 中有 $20$ 个元素；
条件二：$X$ 中的每个元素都是包含于 $[0,1]$ 的闭区间；
条件三：对任意实数 $r\in[0,1]$，$X$ 中包含 $r$ 的元素个数不超过 $10$．
对于 $Q$ 集合 $A,B$，$I\in A$，$J\in B$，满足 $I\cap J\neq\varnothing$ 的区间对 $(I,J)$ 的个数的最大值为_____．
每日一题[3319]不动点与迭代函数
曲线 $f(x)=x^2-4$ 在点 $\left(x_n,f\left(x_n\right)\right)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{n+1}$，$x_1=3$，则（ ）
A．$x_{n+1}=\dfrac{x_n}2+\dfrac 2{x_n}$
B．数列 $\left\{\ln\dfrac{x_n+2}{x_n-2}\right\}$ 为等差数列
C．$x_n=\dfrac{2\left(5^{2^{n-1}}+1\right)}{5^{2^{n-1}}-1}$
D．数列 $\left\{x_n-2\right\}$ 的前 $n$ 项和小于 $2$
每日一题[3318]韦达定理
实系数一元三次方程 $a x^3+b x^2+c x+d=0$ 在复数集内有 $3$ 个根 $x_1,x_2,x_3$，则\[x_1+x_2+x_3=-\dfrac b a,\quad x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=\dfrac c a,\quad x_1 x_2 x_3=-\dfrac d a.\]设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-2 x^2+x-1=0$ 的 $3$ 个根，则 $\dfrac 1{x_1^2}+\dfrac 1{x_2^2}+\dfrac 1{x_3^2}=$ （ ）
A．$-4$
B．$-3$
C．$3$
D．$4$
每日一题[3317]同构函数
已知 $a>0$，不等式 $\dfrac{\mathrm e^x}a\geqslant\ln (a x)$ 恒成立，则 $a$ 的最大值是（ ）
A．$2\mathrm e$
B．$\mathrm e$
C．$\sqrt{\mathrm e}$
D．$\dfrac 1{\mathrm e}$
每日一题[3316]插入数列
给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自 $1,1$ 起进行构造，第 $1$ 次得到数列 $1,2,1$，第 $2$ 次得到数列 $1,3,2,3,1,\cdots$，依次类推得到如下的三角形数表： \[\begin{split} &1,1\\ &1,2,1\\ &1,3,2,3,1\\ &1,4,3,5,2,5,3,4,1\end{split}\] 记 $a_{i j}$ 表示上表中第 $i$ 行，第 $j$ 列的数，$b_i$ 表示上表中第 $i$ 行所有数字之和（$1\leqslant i\leqslant n$，$1\leqslant j\leqslant 2^{n-1}+1$，$ i,j\in \mathbb N^{\ast}$）．
1、求 $a_{54}$ 和 $a_{66}$，并求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
2、记集合 $T=\left\{S(k,t)\mid S(k,t)=b_k+b_{k+1}+\cdots+b_t,1\leqslant k<t,k,t\in \mathbb N^{\ast}\right\}$，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到新数列为 $\left\{c_n\right\}$，若 $c_m\leqslant 2025$，求 $m$ 的最大值．