Math173

三棱锥 $P-ABC$ 中，$PB=PC$，$AB=AC=\sqrt 2$，$AB\perp AC$，且平面 $PBC\perp~\text{平面}~ABC$，记三棱锥 $P-ABC$ 的体积为 $V$，内切球的半径为 $r$，则（        ）

A．二面角 $B-PA-C$ 大于 $\dfrac{\pi}2$

B．二面角 $A-PB-C$ 小于 $\dfrac{\pi}4$

C．$r<\sqrt 2-1$

D．$\dfrac 2 r-\dfrac 1 V\geqslant\sqrt 6+2$

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将函数 $y=x^3+2$ 的图象绕坐标原点顺时针旋转 $\theta$ 后第一次与 $x$ 轴相切，则 $\tan\theta=$ （       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$5$

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共轭双曲线是两条具有特殊位置关系的双曲线，如果一双曲线的实轴与虚轴分別为另一双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线．

1、设双曲线 $C_1,C_2$ 的离心率分別为 $e_1,e_2$，若 $C_1,C_2$ 互为共轭双曲线，证明：$e_1^2 e_2^2=e_1^2+e_2^2$．

2、已知双曲线 $E_1:\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 5}2$，且 $E_1$ 的共轭双曲线 $E_2$ 经过点 $A(\sqrt 2,2)$．

① 求 $E_2$ 的方程；

② 设 $M$ 为 $E_2$ 上的点，直线 $AM$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$，点 $M$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $N$，直线 $AN$ 与 $y$ 轴相交于点 $Q$，若 $|MN|>2\sqrt 2$ 且 $|AM|\cdot|AP|=|AN|\cdot|AQ|$，求 $M$ 的坐标．

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设 $\triangle A_n B_n C_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）的内角 $A_n,B_n,C_n$ 的对边分別为 $a_n,b_n,c_n$，已知 $b_1>c_1$，$b_1+c_1=2 a_1$．

1、求 $A_1$ 的取值范围；

2、若对任意的 $n\in \mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n=2$，且 $a_n,b_{n+1},c_n$ 成等差数列，$a_n,c_{n+1},b_n$ 也成等差数列．证明：$\triangle A_nB_nC_n$ 的周长为定值．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{x^n}{|x|-4}$，则下列结论正确的有（       ）

A．若 $n=2 k$（$k\in \mathbb N^{\ast}$），则 $f(x)$ 为偶函数

B．若 $n=2$，且函数 $y=f(x)-k$ 有两个不同的零点，则 $k$ 的取值范围为 $(-\infty,0)$

C．若 $n=1$，则当 $x_1,x_2\in(-4,4)$ 且 $x_1\neq x_2$ 时，一定有 $f\left(x_1\right)\neq f\left(x_2\right)$

D．若 $n=1$，且关于 $x$ 的方程 $k x=f(x)$ 在 $(-4,4)$ 内存在 $3$ 个实数解，则 $k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac 1 4\right)$

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下列实数中，是方程 $8 x^2=\dfrac 1 x+6$ 的解的有（       ）

A．$\sin\dfrac{7\pi}{18}$

B．$\sin\dfrac{5\pi}{18}$

C．$\sin\left(-\dfrac{\pi}{18}\right)$

D．$\sin\left(-\dfrac{5\pi}{18}\right)$

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已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $1$，且 $\ln\left(a_3+1\right)$ 是 $\ln a_2,\ln\left(a_{10}-2\right)$ 的等差中项．

1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

2、从数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $m$ 项中（$m\geqslant 3$），随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为 $P_m$．是否存在正整数 $N$，当 $m\geqslant N$ 时，恒有 $P_m>\dfrac 1 6$，若存在，求出 $N$ 的最小值．若不存在．请说明理由；

3、数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\dfrac 1{a_n a_{n+1}}$，记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项中所有奇数项的和为 $S_n$．求证：$S_n<1$．

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已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，且 $E$ 的短轴长为 $2$．$A,B,C,D$ 是 $E$ 上不同的四点．

1、求 $E$ 的方程；

2、若点 $A$ 在 $x$ 轴上方，且 $3\overrightarrow{F_2 A}+\overrightarrow{F_2 B}=0$，求直线 $AB$ 的斜率；

3、若 $C,D$ 都在 $x$ 轴上方，且 $CF_2 \parallel DF_1$，求四边形 $CF_2 F_1 D$ 面积的最大值．

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已知 $\triangle ABC$ 中．角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $a-c\cos 2 B=c+2 b\cos C\cos B$．

1、求 $B$ 的大小；

2、若 $a+c=6$，$b=\sqrt 3 a$，求 $\triangle ABC$ 外接圆的半径；

3、若点 $M$ 在线段 $AC$ 上．$\angle ABM=\angle CBM$，$BM=4$，求 $4 a+c$ 的最小值．

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甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为 $p_1$（$0<p_1<1$），乙赢的概率为 $p_2$，且 $p_1+p_2=1$．规定，比赛中先赢三局者获胜，比赛结束．若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了 $X$ 局，则 $X$ 的数学期望的最大值为_____．

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