已知圆台的上下底面的圆周都在半径为 $ 2$ 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为 $r$（$0<r<2$），设圆台的体积为 $V$，则下列选项中说法正确的是（ ）
A．当 $r=1$ 时，$V=7 \sqrt{3} \pi$
B．$V$ 存在最大值
C．当 $r$ 在区间 $(0,2)$ 内变化时，$V$ 逐渐减小
D．当 $r$ 在区间 $(0,2)$ 内变化时，$V$ 先增大后减小
若函数 $f(x), g(x)$ 的图象与直线 $x=m$ 分别交于 $A, B$ 两点，与直线 $x=n$ 分别交于 $C, D$ 两点（$m<n$），且直线 $A C, B D$ 的斜率互为相反数，则称 $f(x), g(x)$ 为 $(m, n)$ 相关函数．
1、若 $f(x), g(x)$ 均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数 $m, n$，使得 $f(x), g(x)$ 为 $(m, n)$ 相关函数．
2、已知 $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$，$g(x)=a x^2$，若存在实数 $m, n$，且 $mn>0$，使得 $f(x), g(x)$ 为 $(m, n)$ 相关函数，且 $|A B|=|C D|$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知：若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$ b>0$）上一点，则双曲线在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为 $\dfrac{x_0 x}{a^2}-\dfrac{y_0 y}{b^2}=1$．如图，过点 $C(m, 1)$（$-\sqrt{3}<m<\sqrt{3}$）分别作双曲线 $\dfrac{x^2}{3}-y^2=1$ 两支的切线，切点分别为 $P, Q$，连接 $P, Q$ 两点，并过线段 $P Q$ 的中点 $F$ 分别再作双曲线两支的切线，切点分别为 $D, E$，记 $\triangle D C F$ 与 $\triangle E C F$ 的面积分别为 $S_1, S_2$．
1、求直线 $P Q$ 的方程（用 $m$ 表示）．
2、证明直线 $D E$ 过点 $C$，并比较 $S_1$ 与 $S_2$ 的大小．
已知双曲线 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\sqrt 2$，且 $C$ 的一个焦点到另一条渐近线的距离为 $1$．
1、求 $C$ 的方程．
2、设点 $A$ 为 $C$ 的左顶点，若过点 $B(3,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于点 $P,Q$，直线 $AP,AQ$ 分别与圆 $x^2+y^2=a^2$ 交于点 $M,N$，记四边形 $PQNM$ 的面积为 $S_1$，$\triangle AMN$ 的面积为 $S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right) \ln (x+1)$．
1、求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率．
2、当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$．
3、证明：$\dfrac{5}{6}<\ln (n !)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leqslant 1$． 参考数据：$\ln2=0.6931\cdots$，$\ln 3=1.0986\cdots$．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，$a_2+a_5=16$，$a_5-a_3=4$．
1、求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式和 $\displaystyle \sum\limits_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i$．
2、已知 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathbb{N}^{\ast}$，若 $2^{k-1} \leqslant n \leqslant 2^k-1$，则 $b_k<a_n<b_{k+1}$．
① 当 $k \geqslant 2$ 时，求证：$2^k-1<b_k<2^k+1$．
② 求 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和．
设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$，右焦点为 $F$，已知 $\left|A_1 F\right|=3$，$\left|A_2 F\right|=1$．
1、求椭圆方程及其离心率．
2、已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$，若 $\triangle A_1 P Q$ 的面积是 $\triangle A_2 F P$ 面积的 $2 $ 倍，求直线 $A_2 P$ 的方程．
若函数 $f(x)=a x^2-2 x-\left|x^2-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为_______．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，$S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_n+2$，则 $a_4$ 的值为（ ）
A．$3$
B．$18$
C．$54$
D．$152$
令 $f(x)=\ln x$，作曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_{1} ,f\left(a_{1}\right)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_{2}\right)$，作曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_{2} f\left(a_{2}\right)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_{3}\right)$，若 $a_{3}<0$ 则停止，以此类推，得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$．
1、若正整数 $m \geqslant 2$，证明 $a_{m}=\ln a_{m-1}-1$．
2、若正整数 $m \geqslant 2$，试比较 $a_{m}$ 与 $a_{m-1}-2$ 的大小．
3、若正整数 $k \geqslant 3$，是否存在 $k$ 使得 $a_{1}, a_{2} ,\cdots, a_{k}$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值，若不存在，试说明理由．
