已知 $a,b,c>0$ 且 $a^2+b^2=c^2$，则使不等式 $\dfrac1{32a}+\dfrac{1}{32b}+\dfrac 1c\geqslant \dfrac k{a+b+c}$ 恒成立的实数 $k$ 的最大值是_____．
每日一题[3344]迭代放缩
将方程 $\tan x=x$ 的所有正根从小到大依次排列，设第 $n$ 个为 $r_n$．求证：对任意正整数 $n$，都有\[0<r_{n+1}-r_n-\pi<\frac{1}{\left(n^2+n\right) \pi}.\]
每日一题[3343]柯西对齐
已知正数 $x, y$ 满足 $\sqrt{9 x^2-1}+\sqrt{9 y^2-1}=9 x y$，则 $4 x^2+y^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 34$
B．$\dfrac 89$
C．$1$
D．$\dfrac 54$
每日一题[3342]截距坐标公式
已知 $x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点为 $ F $，且经过 $ F $ 的直线被圆 $(x-1)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2=9 $ 截得的线段长度的最小值为 $ 4$．
1、求拋物线的方程；
2、设坐标原点为 $O$，若经过点 $(2,0)$ 作直线 $l$ 与抛物线相交于不同的两点 $P, Q$，过点 $P,Q$ 作拋物线的切线分别与直线 $O Q, O P$ 相交于点 $M, N$，请问直线 $M N$ 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
每日一题[3341]伸缩为圆
已知 $F_1$ 为椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点，直线 $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} b$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B F_1$ 的周长和面积分别是 $4+4 \sqrt{2}$ 和 $ 2$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、若 $P(2,1)$ 关于原点的对称点为 $Q$，不经过 $P$ 且斜率为 $\dfrac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $D, E$，直线 $P D$ 与 $Q E$ 交于点 $M$，证明：点 $M$ 在定直线上．
每日一题[3340]可均分数列
若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的满足对于给定的正整数 $k$，$\displaystyle a_n=\dfrac{1}{2 k+1} \sum\limits_{i=n-k}^{n+k} a_i$ 对任意大于 $k$ 的正整数 $n$ 均成立，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $k$ 可均分数列．
1、若各项均为正整数的递增数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $3$ 可均分数列，且 $a_5-a_4=1$，$a_1=1$，求 $a_4$；
2、若 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列是 $\left\{a_n\right\}$ 是 $k$ 可均分数列的充要条件，求 $k$；
3、若 $\left\{a_n\right\}$ 既是 $2$ 可均分数列，也是 $3$ 可均分数列，$\left\{b_n\right\}$ 满足：$b_n=a_{n+1}^2-a_n a_{n+2}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），求证：$\left\{b_n\right\}$ 是 $24$ 可均分数列．
每日一题[3339]参数弦方程
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$，过点 $P(4,0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $M, N$ 两点．
1、若直线 $l$ 的斜率 $k$ 存在，求 $k$ 的取值范围；
2、记直线 $A_1 M, A_2 N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，求 $\dfrac{k_1}{k_2}$ 的值； 设 $G$ 为直线 $A_1 M$ 与直线 $A_2 N$ 的交点，$\triangle G M N, \triangle G A_1 A_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值．
每日一题[3338]小心分类
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，$n\in\mathbb N^{\ast}$，则函数 $f(x)=[x[x]]$（$0\leqslant x\leqslant n$）的值域中的元素个数为_____；函数 $g(x)=[x[x[x]]]$（$0\leqslant x\leqslant 4$）的值域中的元素个数为_____．
每日一题[3337]排序重组
设 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正数的无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$．
1、若 $\sqrt{a_n\cdot a_{n+2}}=a_{n+1}$ 对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都成立，且 $2 S_{n+1}=S_n+2$．
① 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
② 已知首项为 $x_1$，公比 $q$ 满足 $|q|<1$ 的无穷等比数列 $\left\{x_n\right\}$，当 $n$ 无限增大时，其前 $n$ 项和无限趋近于常数 $\dfrac{x_1}{1-q}$，则称该常数为无穷等比数列 $\left\{x_n\right\}$ 的各项和．现从数列 $\left\{a_n\right\}$ 中抽取部分项构成无穷等比数列 $\left\{b_n\right\}$，且 $\left\{b_n\right\}$ 的各项和不大于 $\dfrac 1{15}$，求 $b_n$ 的最大值．
2、若 $\sqrt{a_n\cdot a_{n+2}}\geqslant a_{n+1}$ 对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都成立，试证明：$\left(a_1 a_{n+2}\right)^{\frac 12}\geqslant\left(a_2 a_3\cdots a_{n+1}\right)^{\frac 1 n}$．
每日一题[3336]抛物线的平均性质
已知动点 $G(x,y)$ 满足关系式 $\sqrt{x^2+(y-\sqrt 2)^2}-\sqrt{x^2+(y+\sqrt 2)^2}=2$．
1、求动点 $G$ 的轨迹方程；
2、设动点 $G$ 的轨迹为曲线 $C_1$，抛物线 $C_2: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$，过 $C_1$ 上一点 $P$ 作 $C_2$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$，弦 $AB$ 的中点为 $M$，平行于 $AB$ 的直线 $l$ 与 $C_2$ 相切于点 $Q$．
① 证明：$P,Q,M$ 三点共线；
② 当直线 $l$ 与 $C_1$ 有两个交点时，求 $|QF|$ 的取值范围．