已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，$b_1=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{a_n}$，$b_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{b_n}$，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，则下列选项正确的有（ ）
A．$\dfrac{a_2}{b_2}+\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{17}{4}$
B．$a_{100}^2+b_{100}^2=\dfrac{5}{2} a_{100} \cdot b_{100}$
C．$200<a_{100} \cdot b_{100}<\dfrac{449}{2}$
D．$a_{100}-b_{100}<-15 \sqrt{2}$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中给定 $a_1$，且函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3-a_{n+1} \sin x+\left(a_n+2\right) x+1$ 的导函数有唯一零点，函数 $g(x)=12 x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin (\pi x)-\dfrac{1}{2} \cos (\pi x)$ 且 $g\left(a_1\right)+g\left(a_2\right)+\cdots+g\left(a_9\right)=18$，则 $a_5=$ ( )
A．$\dfrac{1}{4}$
B．$\dfrac{1}{3}$
C．$\dfrac{1}{6}$
D．以上答案都不正确
已知正 $\triangle A B C$ 的边长为 $4 \sqrt{3}$，内切圆圆心为 $I$，点 $P$ 满足 $\left|\overrightarrow{P I}\right|=1$．
1、求证：$\overrightarrow{P A}^2+\overrightarrow{P B}^2+\overrightarrow{P C}^2$ 为定值．
2、把三个实数 $a, b, c$ 的最小值记为 $\min \{a, b, c\}$，若 $$ m=\min \left\{\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}, \overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}, \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}\right\}, $$求 $m$ 的取值范围．
3、若 $x \overrightarrow{P A}+y \overrightarrow{P B}+z \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$（$x, y, z \in \mathbb R^{+}$），求当 $\dfrac{y}{x}$ 取最大值时，$\dfrac{z}{x+y}$ 的值．
已知 $a, b, c$ 满足 $a=3\sin \dfrac{1}{3}$，$ b={\rm e}^{-\frac{1}{3}}$，$c= {\log_3}{\rm e}$，则（ ）
A．$b<a<c$
B．$c<b<a$
C．$b<c<a$
D．$a<b<c$
已知抛物线 $C:~x^2=2 y$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$A, B$ 是 $C$ 上异于点 $O$ 的两点（$O$ 为坐标原点）则下列说法正确的是[[nn]] A．若 $A,F,B$ 三点共线，则 $|A B|$ 的最小值为 $ 2$ B．若 $|A F|=\dfrac{3}{2}$，则 $\triangle A O F$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ C．若 $O A \perp O B$，则直线 $A B$ 过定点 $(2,0)$ D．若 $\angle A F B=60^{\circ}$，过 $A B$ 的中点 $D$ 作 $DE\perp l$ 于点 $E$，则 $ \dfrac{|A B|}{|D E|} $ 的最小值为 $ 1$
答案 ABD．
解析 根据题意，有 $F\left(0,\dfrac 12\right)$，准线 $l:~y=-\dfrac 12$，设 $A(2a,2a^2)$，$B(2b,2b^2)$．
对于选项 $\boxed{A}$，若 $A,F,B$ 三点共线，则根据抛物线的焦点弦长公式，$|AB|$ 的最小值为 $2p=2$（其中 $p$ 为抛物线的焦准距），选项正确．
对于选项 $\boxed{B}$，若 $|AF|=\dfrac 32$，则 $2a^2=1$，因此 $A\left(\sqrt 2,1\right)$，此时 $\triangle AOF$ 的面积为\[\dfrac 12\cdot |FO|\cdot d(A,FO)=\dfrac 12\cdot \dfrac 12\cdot \sqrt 2=\dfrac{\sqrt 2}4,\]选项正确．
对于选项 $\boxed{C}$，若 $OA\perp OB$，则 $ab=-1$，而根据抛物线的平均性质，直线 $AB$ 的纵截距为 $-2ab=2$，因此直线 $AB$ 恒过点 $(0,2)$，选项正确．
对于选项 $\boxed{D}$，设 $|AF|=m$，$|BF|=n$，根据余弦定理，有\[\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{\sqrt{m^2+n^2-2mn\cos\angle AFB}}{\dfrac 12\left(d(A,l)+d(B,l)\right)}=\dfrac{\sqrt{m^2+n^2-mn}}{\dfrac 12(m+n)}=2\sqrt{1-\dfrac{3}{\dfrac mn+\dfrac nm+2}}\geqslant 1,\]等号当 $m=n$ 时取得，因此选项正确．
综上所述，正确选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．
已知 $A,B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上两点，以 $A, B$ 为切点的抛物线的两条切线交于点 $P$，设以 $A, B$ 为切点的抛物线的切线斜率为 $k_A, k_B$，过 $A, B$ 的直线斜率为 $k_{A B}$，则以下结论正确的有（ ）
A．$k_A, k_{A B}, k_B$ 成等差数列
B．若点 $P$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{2}$，则 $k_{A B}=\dfrac{1}{2}$
C．若点 $P$ 在抛物线的准线上，则 $\triangle A B P$ 是直角三角形
D．若点 $P$ 在直线 $y=2 x-2$ 上，则直线 $A B$ 恒过定点
已知函数 $f(x)=\sin (\cos x)+\cos (\sin x)$，下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称
B．$f(x)$ 的一个周期是 $2 \pi$
C．$f(x)$ 的最大值为 $\sin 1+1$
D．$f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递增
已知函数 $f(x)=m \mathrm{e}^x-x-n-1$（$m, n \in \mathbb{R}$），若 $f(x) \geqslant-1$ 对任意的 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立，则 $m n$ 的最大值是（ ）
A．$\mathrm{e}^{-2}$
B．$-\mathrm{e}^{-2}$
C．$\mathrm{e}^{-1}$
D．$-\mathrm{e}^{-1}$
已知 $a=\sin \dfrac{\pi}{15}$，$b=3^{\log_3^2-2}$，$c=2 \ln 3-\ln 7$，则 $a, b, c$ 的大小关系是（ ）
A．$a<c<b$
B．$b<a<c$
C．$b<c<a$
D．$a<b<c$
阿波罗尼奥斯在其著作 《圆锥曲线论》中提出：过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上任意一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的切线方程为 $\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1$．若已知 $\triangle A B C$ 内接于椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），且坐标原点 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心，过 $A, B, C$ 分别作椭圆 $E$ 的切线，切线分别相交于点 $D, E, F$，则 $\triangle DEF$ 与 $\triangle ABC$ 的面积之比为_______．
