Math173

已知 $M$ 为含有 $6$ 个元素的集合，记\[T=\left\{(A,B)\mid A,B\subseteq M,A\ne \varnothing,B\ne \varnothing,A\cap B=\varnothing\right\},\]若集合 $T$ 中含有的元素个数为 $n$，则包含 $n$ 的区间为（       ）

A．$[350,450]$

B．$[450,550]$

C．$[550,650]$

D．$[650,750]$

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已知 $a,b,c,d,e\in\mathbb R$，且 $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1$．设\[S=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|,\]则 $S$ 的最大值为（       ）

A．$1$

B．$\sqrt 2$

C．$4$

D．$2\sqrt 5$

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设正整数 $a$ 在十进制表示下是 $n$ 位数，$a^3$ 在十进制表示下是 $m$ 位数，则 $n+m$ 的值可能为（       ）

A．$2020$

B．$2021$

C．$2022$

D．$2023$

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直线上从左至右排列着 $10$ 个点，将每个点用红蓝两种颜色之一染色，要求不存在连续三个相邻的点都染成蓝色，则满足上述条件的染色方案的数目为（       ）

A．$504$

B．$505$

C．$506$

D．$507$

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2024年中科大入学考试数学试卷 #3

设函数 $f(x)=a x^2+x+1-\mathrm e^x$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一零点，则实数 $a$ 的取值范围是 _____．

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2024年中科大入学考试数学试卷 #4

设复数 $z,w$ 满足 $z+w=1$ 且 $z w=\mathrm i$，其中 $\mathrm i$ 是虚数单位，则 $z^5+w^5=$_____．

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2024年中科大入学考试数学试卷 #6

已知数列 $\left\{n^{10}\right\}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的前 $n$ 项和公式为 $S_n=c_0+c_1 n+c_2 n^2+\cdots+c_{11}n^{11}$，则 $c_{10}=$ _____．

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2024年中科大入学考试数学试卷 #10

设圆 $x^2+y^2=1$ 的内接正 $n$ 边形的面积为 $A_n$，记 $Q_n=\dfrac{A_{4 n}-A_{2 n}}{A_{2 n}-A_n}$，$n\geqslant 3$．求证：$\dfrac 1 4<Q_n<\dfrac 1 3$ 并且 $\pi<\dfrac{A_{2 n}-Q_n A_n}{1-Q_n}$．

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已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\left(1+\dfrac ax\right)\cdot \left(1+\dfrac 1x\right)^x$（$x>0$）．

1、当 $a=1$ 时，求证：$f(x)>\mathrm e$；

2、若 $f(x)>\mathrm e$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

3、已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\dfrac 32<\left(1+\dfrac1{2n}\right)^n<\dfrac 53$．

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已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=|x^2-1|-x^2+ax$．

1、若 $f(x)$ 是偶函数，求实数 $a$ 的值；

2、若函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y=2x$ 在第一象限有 $2$ 个公共点，公共点横坐标分别为 $x_1,x_2$（$ x_1<x_2 $），求证：$ 4x_1-3x_2<a-2<4x_2-3x_1$．

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