已知 $A,B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上两点,以 $A, B$ 为切点的抛物线的两条切线交于点 $P$,设以 $A, B$ 为切点的抛物线的切线斜率为 $k_A, k_B$,过 $A, B$ 的直线斜率为 $k_{A B}$,则以下结论正确的有( )
A.$k_A, k_{A B}, k_B$ 成等差数列
B.若点 $P$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{2}$,则 $k_{A B}=\dfrac{1}{2}$
C.若点 $P$ 在抛物线的准线上,则 $\triangle A B P$ 是直角三角形
D.若点 $P$ 在直线 $y=2 x-2$ 上,则直线 $A B$ 恒过定点
答案 ACD.
解析 对于选项 $\boxed{A}$,设 $A(a,a^2)$,$B(b,b^2)$,则\[PA:~y=2ax-a^2,\quad PB:~y=2bx-b^2,\]于是 $k_A=2a$,$k_{AB}=a+b$,$k_B=2b$,选项正确.
对于选项 $\boxed{B}$,由于 $AB:~y=(a+b)x-ab$ 即\[\dfrac{y+ab}2=\dfrac{a+b}2\cdot x,\]于是 $P\left(\dfrac{a+b}2,ab\right)$,从而 $k_{AB}=1$,选项错误.
对于选项 $\boxed{C}$,若 $P$ 在抛物线准线上,则 $ab=-\dfrac 14$,此时\[k_A\cdot k_B=2a\cdot 2b=-1,\]因此 $\triangle ABP$ 是直角三角形,选项正确.
对于选项 $\boxed{D}$,若点 $P$ 在直线 $y=2x-2$ 上,则\[ab=2\cdot \dfrac{a+b}2-2\iff 2=(a+b)\cdot 1-ab,\]因此直线 $AB$ 恒过点 $(1,2)$,选项正确.
综上所述,正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$.
答案乱码了