如图，直三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $1$，$AB\perp BC$，$AB=2$，$BC=1$．
1、求证：$BC_1\perp A_1 C$．
2、求二面角 $B_1-A_1 C-B$ 的余弦值．
每日一题[3434]左右飘摇
设钝角 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，若 $a=2$，$b\sin A=\sqrt 3$，$c=3$，则 $b=$ _______．
每日一题[3433]参数方程
已知圆 $O: x^2+y^2=2$，过点 $M(-3,1)$ 的直线 $l$ 交圆 $O$ 于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$，则满足上述条件的直线 $l$ 的方程为_______．
每日一题[3432]极化恒等式
在长方形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$AD=6$，点 $E,F$ 分别为边 $BC$ 和 $CD$ 上两个动点（含端点），且 $EF=5$，设 $\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DC}$，则（ ）
A．$\dfrac 1 6\leqslant\lambda\leqslant 1$，$\dfrac 3 8\leqslant\mu\leqslant 1$
B．$\lambda+\mu$ 为定值
C．$\overline{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$ 的最小值 $50$
D．$\left|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right|$ 的最大值为 $\sqrt{265}$
每日一题[3431]最大张角
正三棱锥 $P-ABC$ 和正三棱锥 $Q-ABC$ 共底面 $ABC$，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点 $P$ 和点 $Q$ 在平面 $ABC$ 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面 $ABC$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$，则当 $\alpha+\beta$ 最大时，$\tan (\alpha+\beta)=$ （ ）
A．$-\dfrac 1 3$
B．$-\dfrac 2 3$
C．$-1$
D．$-\dfrac 4 3$
每日一题[3430]新传球问题
羽毛球比赛水平相当的甲，乙，丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第 $1$ 局甲担任裁判，则第 $3$ 局甲还担任裁判的概率为（ ）
A．$\dfrac 1 4$
B．$\dfrac 1 3$
C．$\dfrac 1 2$
D．$\dfrac 2 3$
每日一题[3429]物尽其用
在 $\triangle ABC$ 中，$\tan A=3$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$．
1、求 $\tan B$．
2、若 $AC=\sqrt 5$，求 $AC$ 边上的中线长．
每日一题[3428]抛物线的参数方程
已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^2=x$ 的焦点为 $F$．$A,B$ 为 $C$ 上两点，$OA\perp AB$．当 $\angle AOF=45^{\circ}$ 时，$|AB|=$ [[nn]]；$3|FA|+|FB|$ 的最小值为 _______．
每日一题[3427]高斯倒数函数
已知定义在区间 $[1,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=\begin{cases}1,& 1\leqslant x<2,\\\dfrac{f(x-1)}{1+f(x-1)},& x\geqslant 2.\end{cases}$ 下列说法正确的有（ ）
A．$f(2024)=\dfrac 1{2024}$
B．当 $x>1$ 时，$\dfrac 1 x\leqslant f(x)<\dfrac 1{x-1}$
C．若 $f(x)\leqslant\dfrac k{x+1}$，则 $k$ 的最小值为 $2$
D．若 $f(x)\geqslant a^x$（$a>0$，$a\neq 1$），则 $a$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt[3] 9}3$